Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

Будем вести индукцию по n. В случае n =1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ₁ симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ₁ – действительно число. Пусть а ₁ – соответствующий собственный вектор.

Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а ₁

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а ₁), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,

Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.

Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.