Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).





Каждое из неравенств в соответствии с теоремой 1 определяет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек (из математики: выпуклое множество точек – если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки). Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. их пересечению. Согласно существующей теореме о том, что пересечение (общая часть) любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество – множество решений совместной системы линейных неравенств является выпуклым и содержит конечное число угловых точек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой многоугольной областью).

 

Пример: Построить множество решений системы неравенств

-5х1 + 4х2 <= 20 (I)

2х1 + 3х2 <= 24 (II)

х1 - 3х2 <= 3 (III)

x1 >= 0 (IV)

0 <= x2 <= 6 (V, VI)

Координаты угловых точек – вершин многоугольника находятся как координаты точек пересечения соответствующих прямых. Например, точка D – пересечение прямых II и III, т.е. ее координаты являются решением системы

2х1 +3х2 <= 24 (II)

х1 - 3х2 <= 3 (III)

 

откуда Х1 = 9, Х2 = 2, т.е. D(9;2). Аналогично находятся координаты других угловых точек: О(0;0), А(0;5), В(4/5;6), С(3;6), Е(3;0).

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи:

§ множество решений – выпуклая многоугольная область;

§ одна точка;

§

 
 

пустое множество, когда систем неравенств несовместима.

 

Теорему 2 можно обобщить на случай трех и более переменных.

 

Теорема 3. Множество всех допустимых решений совместной системы m линейных уравнений с n переменными при (m < n) является выпуклым многогранником (или выпуклой многогранной областью в n-мерном пространстве).

Доказывать не будем, проиллюстрируем теорему на примере:

 

2х1 + 3х2 + х3 = 12

х1 + х2 - х4 = 1

Построить непосредственно множество решений системы уравнений с n = 4 (n >3) переменными нельзя. В данном случае (когда разность между числом переменных и уравнений n – m = 2) можно поступить так: разбить все переменные на основные, например х3 и х4 (определитель из коэффициентов при них отличен от нуля = 1 *(- 1) – 0 * 0 = -1), и неосновные (свободные) переменные х1 и х2, и вместо множества решений системы уравнений построить множество значений их неосновных переменных (это выполнить возможно, т.к. неосновных переменных всего две).

С этой целью выразим основные переменные через неосновные:

 

х3 = 12 – 2х1 – 3х2

х4 = -1 + х1 + х2

 

В(0;4)
Так как рассматриваются допустимые значения переменных, т.е. х1, х2, х3, х4 >= 0, то

       
   
 


III
12 – 2х1 – 3х2 >=0 (I)

-1 + х1 + х2 >=0 (II)

С(6;0)
А(0;1)
х1 >=0, х2 >=0 (III, IV)

       
 
 
   
D(1;0)

 

 


Решением полученной таким образом системы неравенств являются точки четырехугольника ABCD с четырьмя угловыми точками А(0;1), В(0;4), С(6;0), D(1;0).

В данном примере графические построения проведены не в пространстве всех переменных, а в плоскости двух неосновных переменных х1 и х2. Но так как любой паре неосновных переменных х1 и х2 соответствуют определенные значения основных переменных х3 и х4, а следовательно одно и только одно решение данной системы уравнений, то каждой точке построенного четырехугольника ABCD соответствует одна и только одна точка множества допустимых решений системы, представляющего в данном случае выпуклый многогранник в четырехмерном пространстве.

Утверждение. Между допустимыми базисными решениями и угловыми точками множества допустимых решений системы линейных уравнений существует взаимооднозначное соответствие.

Не будем доказывать, опять ограничимся примером.

Для системы, приведенной выше можно получить четыре допустимых базисных решения. Группы основных переменных могут быть любые, т.к. все определители не равны 0:

х1 и х2 (х3, х4 = 0) – недопустимое (т.к. х1 = -9, х2 = 10),

х1 и х3 (х2, х4 = 0) – допустимое Х1 = (1;0;10;0),

х1 и х4 (х2, х3 = 0) – допустимое Х2 = (6;0;0;5),

х2 и х3 (х1, х4 = 0) – допустимое Х3 = (0;1;9;0),

х2 и х4 (х1, х3 = 0) – допустимое Х4 = (0;4;0;3),

х3 и х4 (х1, х2 = 0) – недопустимое (т.к. х3 = 12, х4 = -1).

Из рисунка, иллюстрирующего решение, видно, что этим допустимым базисным решениям соответствуют угловые точки D(1;0), С(6;0), А(0;1) и В(0;4) четырехугольника ABCD.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 446. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия