Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Система m линейных уравнений с n переменными





Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

 

а11*Х1 + а12*Х2 + …+ а1j*Xj + …+ а1n*Xn = В1

а21*Х1 + а22*Х2 + …+ а2j*Xj + … + а2n*Xn = В2

………………………….

аi1*Х1 + аi2*Х2 +…+ аij*Xj + … + а in*Xn = В i (6)

………………………….

аm1*Х1 + аm2*Х2 + … + аmn*Xn = Вm

 

или в краткой записи

(I = 1, 2, …, m)

в задачах ЛП представляют интерес системы, в которых максимальное число независимых уравнений системы меньше числа переменных. Будем полагать, что в системе (6) все m уравнений системы независимы, т.е. m < n.

Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными (базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n - m переменных называются неосновными (или свободными).

Основными могут быть разные группы из n переменных, но общее число групп не превосходит число сочетаний .

= n! / ((n-m)! m!)

Пример:

Найти все возможные группы основных переменных в системе

х1 – х2 – 2х3 + х4 = 0 (7)

2х1 + х2 + 2х3 – х4 = 2

 

Решение. Общее число групп основных переменных не более чем = 4*3/2 = 6, т.е. возможны группы основных переменных: х1, х2; х1, х3; х1, х4; х2, х3; х2, х4; х3, х4.

Переменные х1, х2 могут быть основными, т.к. определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных = 1 * 1 – 2 * (-1) = 3 ¹ 0. рассуждая аналогично, можно найти, что могут быть основными переменные х1, х3; х1, х4, но не могут быть основными х2, х3; х2, х4; х3, х4, т.к. соответствующие определители равны 0.

х3, х4 = (-2) * (-1) – 2 * 1 = 0.

Существует теорема. Если для системы из m линейных уравнений с n переменными ((m < n) существует хотя бы одна группа основных переменных, то эта система является неопределенной, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы.

Пусть, например, х1, х2, …, хm – основные переменные (если это не так, то нумерацию можно изменить), то определитель матрицы

¹ 0.

Оставим в левых частях уравнений системы (6) члены с переменными х1, х2, …, хm, а члены с переменными xm+1, xm+2, …, xn перенесем в правые части. Получим:

а11*Х1 + а12*Х2 + …+ а1m*Xm = В1 - а1m+1*Xm+1 - … - а1n*Xn

а21*Х1 + а22*Х2 + …+ а2m*Xm = В2 – а2m+1*Xm+1 - … - а2n*Xn

…………………………………………………………………….

аm1*Х1 + аm2*Х2 + …+ аmm*Xm = Вm - аmm+1*Xm+1 - … - аmn*Xn

 

Задавая неосновным переменным xm+1, xm+2, …, xn произвольные значения, каждый раз будем получать новую систему с новыми свободными членами. Каждая из полученных систем будет иметь один и тот же определитель, т.е. каждая из систем будет иметь единственное решение. Так как получаемых таким образом систем бесконечное множество, то и система (6) будет иметь бесконечное множество решений.

Решение Х = (х1, х2, …, хn) системы (6) называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, т.е. Хj >=0 для любых j = 1, 2, …, n. В противном случае решение называется недопустимым.

Среди бесконечного множества решений системы выделяют базисные решения.

Базисным решением (БР) системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все n – m неосновных переменных равны нулю.

В задачах ЛП особый интерес представляют допустимые базисные решении (ДБР), или, как их еще называют, опорные планы. Число базисных решений является конечным, т.к. оно равно числу групп основных переменных, не превосходящему . Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным.

Пример:

В примере (7) существует три группы основных переменных, т.е. число базисных решений = 3.

Первое х1 и х2 – основные, х3 и х4 – неосновные (= 0), тогда

х1 – х2 = 0

2х1 + х2 = 2

откуда х1 =2/3; х2 = 2/3. следовательно первое баз решение системы Х1 = (2/3; 2/3; 0; 0) –допустимое.

Если взять за основные переменные Х1 и Х3, то получим второе баз решение системы Х2 = (2/3; 0; 2/3; 0) – также допустимое. Аналогично можно найти третье баз решение при основных переменных х1, х4 Х3 = (2/3; 0; 0; -2/3) – недопустимое.

Вывод: Совместная система (6) имеет бесконечно много решений, из них базисных решений – конечное число, не превосходящее .







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 1226. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

Различия в философии античности, средневековья и Возрождения ♦Венцом античной философии было: Единое Благо, Мировой Ум, Мировая Душа, Космос...

Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры. 2. Исследовались не только человеческая...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия