Свойства корней
Пусть a, b Î R, тогда: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
Пример 1. Вычислить Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:
Тогда получим
2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через a, т. е.
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Тогда Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.
Пример 2. Упростить выражение Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем:
2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных. Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись: Заданное выражение приобретает вид
Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:
Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе: 1) Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:
3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:
|
где a ³ 0 в случае 
где 
в случае 
где 
в случае 
Заметим, что 
2) 
3) 
