Декурсивний та антисипативний способи нарахування відсотків

Існує дві концепції і, відповідно, два способи визначення і

нарахування процентів.

Антисипативтш (попередній) спосіб. Відсотки нарахову­ються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума про­центних грошей визначається, виходячи із нарощеної суми:

S = Р/(1 - і)n.

Відсотковою ставкою буде виражене у відсотках відно­шення суми прибутку, що сплачується за певний інтервал, до ве­личини нарощеної суми, яка отримується в кінці цього інтервалу. Ставка, що визначається таким способом, називається (в широко­му розумінні) обліковою ставкою або антисипативним відсотком.

Декурсивний спосіб. Відсотки нараховуються в кінці кож­ного інтервалу нарахування. Декурсивна відсоткова ставка або позичковий відсоток - це відношення суми нарахованого за пев­ний інтервал доходу до суми, що є на початку даного інтервалу.

У світовій практиці Декурсивний спосіб найбільш розпов­сюджений. У нас - антисипативний, особливо в періоди високої інфляції. При рівності позичкового відсотку та облікової ставки, нарощення початкової суми в другому випадку (антисипативний спосіб) йде швидше, тому в літературі часто можна зустріти твер­дження, що Декурсивний спосіб більш вигідний для позичальни­ка, а антисипативний - для кредитора. Але це справедливо лише

для невеликих відсоткових ставок.

Приклад. Початкова сума боргу складає 3800 грн. Визна­чити величину нарощеної суми через 4 роки при застосуванні де-курсивного і антисипативного способів нарахування відсотків. Річна ставка - 70%.

Декурсивний спосіб:

S = 3800 (1 + 0,7)4 = 31738.

Антисипативний спосіб:

S = 3800 / (1 - 0,7)4 = 475 000.

Даний приклад демонструє різницю у результатах при різних способах нарахування відсотків на фоні великих сум і ви­соких відсоткових ставок.

Прості ставки позичкових відсотків (декурсивних) засто­совуються у короткотермінових фінансових операціях, коли інтер­вал нарахування співпадає з періодом нарахування (і складає, як правило, термін менше одного року). Звичайно, прості ставки по-

ринок фііілисоиііх послуг: теорія і практика.

зичкових відсотків можуть застосовуватись і в будь-яких інших ви­падках за домовленістю сторін, що беруть участь в угоді.

Залежно від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується точний або звичайний (комерційний) відсоток. Точний відсоток отримують, коли за часову базу приймають фактичну кількість днів на рік (365 або 366) і точну кількість днів позички. Дата видачі та дата погашення позички завжди рахуються як один день.

У практиці банків різних країн термін у днях і розрахун­кова кількість днів на рік при нарахуванні відсотків визначається по-різному. Німецька практика підрахунку кількості днів засно­вується на тривалості року в 360 днів і місяців у ЗО днів. При французькій практиці тривалість року приймається рівною 360 дням, а кількість днів на місяць береться рівного їх фактичній ка­лендарній тривалості (28, 29, ЗО і ЗІ день відповідно). В англійсь­кій практиці рік береться тривалістю у 365 днів і відповідна точ­на тривалість місяців. При використанні простих відсотків сума процентних грошей протягом всього терміну боргу визначається виходячи із початкової суми боргу, незалежно від кількості періодів нарахування та їх тривалості.

Ходаківська В.П., Бсляєв В. В

Для випадків простих облікових ставок. При антисипа-тивному способі нарахування відсотків сума отримуваної о дохо­ду розраховується виходячи із суми, що отримується після закін­чення певного інтервалу нарахування (тобто із нарощеної суми). Ця сума і вважається величиною отримуваного кредиту (або по­зички). Так як у даному випадку відсотки нараховуються на по­чатку кожного інтервалу нарахування, позичальник, звичайно, отримує цю суму за вирахуванням процентних грошей (S — Р). Така операція називається дисконтуванням за обліковою став­кою, а також комерційним або банківським обліком.

Дисконтом називається дохід, отриманий за обліковою ставкою, тобто різниця між розміром кредиту і сумою, що ви­дається.

На практиці облікові ставки застосовуються, в основно­му, при обліку (купівлі) векселів та інших грошових зобов'язань.

Складні ставки позичкових відсотків. Якщо після черго­вого інтервалу нарахування дохід (нараховані за даний інтервал відсотки) не виплачується, а додається до грошової суми, що є на початку цього інтервалу, то для визначення нарощеної суми за­стосовують формули складних відсотків, які є досить розповсюд­женим сьогодні видом відсоткових ставок, що застосовуються у різних фінансових операціях.

Коли виникає можливість вибору між низькою складною відсотковою ставкою і більш високою простою, слід віддавати перевагу першому варіанту.

У нашій країні на даний момент наиоільш розповсюджу ним є нарахування відсотків за півріччями, поквартальне щомісячне. Такі відсотки,, що нараховуються з певної періодичністю, називаються дискретними.

У світовій практиці часто застосовується також неперері не нарахування складних відсотків (тривалість інтервалу нарах;

вання прагне до нуля, a m - до нескінченності): е = 2/71828.... S = Р е„

Формули еквівалентності облікових ставок. Оскільки умови нарахування відсотків с одним з основних факторів при виборі банку або фінансової компанії дпя розміщення засобів, не­обхідно їх порівнювати за деяким загальним показником. У якості такої о показника використовується еквівалентна (ефек­тивна) річна ставка простих або складних відсотків.

Еквівалентні відсоткові ставки - це такі ставки різного ви­ду, застосування яких при "різних початкових умовах дає одна­кові фінансові результати.

Визначення індексу інфляції. Відношення ^s/s, що вира­жене у відсотках, називається рівнем інфляції. При розрахунках використовують відносну величину рівня інфляції - темп інф­ляції - а.

Величину (1 + а), що показує, у скільки разів Sa більше за s (тобто у скільки разів у середньому виросли ціни), називають індексом інфляції іі.

Для визначення відсоткових ставок, враховуючи інфляцію, використовують формули:

Для нарощеної суми ануїтету. При погашенні кредиту частинами поточне значення суми боргу буде після чергової сплати зменшуватись, і відповідно, буде зменшуватись сума відсотків, що нараховується на черговому інтервалі.

Розмір сплати в кінці першого року:

Si = D/n + Dg; (5.50)

D - сума кредиту;

g - річна ставка відсотків за кредитом у відносних одиницях. Залишок боргу в кінці другого року становитиме:

D2=D-D/n=D(l-l/n). (5.51) Розмір сплати в кінці другого року становитиме:

Sz = D/n + Dg = D/n + Dg (1 - 1/n). (5.52) Залишок боргу на початок третього року становитиме:

Di,D - D/n = D (1 - 2/п) і т. д. (5.53) Сума виплачених відсотків буде дорівнювати:

І = Dg + Dig + Dag +..... + Dng = Dg (1+ 1 - 1/n + 1 - 2/п +....+

l-{(n-l)/n}. (5.54) Застосувавши до виразу в дужках формулу для суми

членів гсометричної'прогресії, отримуємо:

I=Dg [(n+l)/2]. ' (5.55) Загальна сума погашення кредиту буде дорівнювати:

S=D+I=D(l+g(n+l)/2]. (5.56) Якщо внески на погашення кредиту будуть здійснюватись

р раз на рік, сума сплачуваних відсотків, визначена аналогічно,

буде дорівнювати:

'І = [(D/p)gj [(пр +1) / 2]. (5ІР7)~

Якщо умовами кредитної угоди передбачено, що кредит і відсотки за ним погашаються протягом його терміну рядом пла­тежів за вказаною в угоді схемою, суму відсотків і загальну суму, що повинна бути погашена, можна визначити, послідовно вико­ристовуючи наведені вище формули.

Кредити можуть погашатись однаковими терміновими сплатами, що включають погашення основної суми боргу і ви­плату відповідної суми відсотків. Якщо відсотки за кредит нара­ховуються за простою ставкою, загальна їх сума І буде визнача­тись наведеною вище формулою (5.57).

Загальна сума витрат з погашення кредиту в розмірі D бу­де дорівнювати:

S=D+I, (5.58) і, відповідно, розмір однакових термінових сплат буде до­рівнювати:

R = (D + І)/пр; (5,59) де n - термін кредиту в роках;

р - кількість сплат на рік.

При погашенні рівними терміновими сплатами довго­строкових кредитів з нарахуванням відсотків за складною став­кою відсотків розміри термінових сплат можуть бути визначені, якщо перерахувати (перевести) суми сплат до моменту видачі кредиту, або, інакше кажучи, здійснювати їх дисконтування з ви­користанням формули

P=S/(1 +i)n=Ska; (5-60) де kd- коефіцієнт дисконтування (приведення);

ka=l/(l+i)n. (5.61) Якщо платежі розміром R будуть здійснюватись щорічно в кінці кожного року, то їх значення, дисконтовані за складною ставкою відсотків і на початок першого року виплат, будуть Дорівнювати:

Ai=R/(l +i).

A2=R/(1 +І)2,

до цих формул....

An=R/(l+i)n. (5.62)

Застосувавши до суми цих величин формулу для суми членів геометричної прогресії, отримуємо для сучасної (наведе­ної) величини суми всіх платежів наступне вираження:

t=l,

A=ZA,=R [1-(1+i)-n|/i, ^.u-^

t=n. Із цієї формули можна визначити розмір платежу:

R-Ai/|l-(l +i)-|. (5.64) Оскільки сума всіх платежів з погашення кредиту і нара­хованих відсотків повинна бути рівною сумі кредиту D, розмір

сплат, що вносяться в кінці кожного року при ставці складних

відсотків і за формулою (5.64) буде дорівнювати:

R = D і/[1 - (1 + і)-]. (5.65) Загальна сума погашення кредиту складе:

S = nR = nD i/[l - (1 + i).n]. (5.66) А сума сплачених відсотків буде дорівнювати:

I=S-D. (5.67) Якщо рівнозначні виплати за кредитом у розмірі R будуть

вноситись р раз на рік, їх розмір, що визначається аналогічно,

складе:

R=D [(І +і)кр-1]/ |1-(1 +і)-„1. (5.68)

5.6.3.Способи розв'язування фінансових задач

Розв'язування фінансових задач, як і більшість інших проблем тимчасової вартості грошей, може вирішуватись трьома способами: числовим, табличним (відсоткові таблиці) або із за­стосуванням фінансового калькулятора.

У наш час прогрес досяг рівня, при якому більшість задач, пов'язаних з тимчасовою вартістю грошей, слід вирішувати за допомогою фінансового калькулятора. Проте необхідно ро­зуміти концепції даної проблеми без калькулятора і знати, як бу­дувати часові лінії для того, щоб вміти розробляти комплексні програми. Це може особливо знадобитися для розрахунку вар­тості цінних паперів і облігацій при проведенні лізингового аналізу, рішення інших важливих фінансових проблем.

Формат задачі. Для того, щоб розуміти різні типи задач, які стосуються тимчасової вартості грошей, ми досить часто Діємо у певному порядку: спочатку ми визначаємо дану задачу

Ходаківська В. II., Беляєв В. В

словами, потім подаємо її рішення за допомогою часової лінії, діаграми, далі під часовою лінією ми даємо рівняння, яке не­обхідно розв'язати. Розв'язати задачу можна трьома альтерна­тивними способами, а саме:

або при застосуванні звичайного калькулятора піднесіть 1.05 до 5-го ступеня і помножте на $ 100. У результаті ви отри­маєте: 85 =$ 127,63.

2. Рішення за допомогою фінансових таблиць:

Фактор майбутньої вайтості відсотка k in = (1 + i)n

Г. J Г- v
Період (n)	4%	5%	6%
	1,0400	1.0500	1,0600
	1.0816	1.1025	1.1236
	1,1249	1.1576	1.1910
	1,1699	1.2155	1,2625
	1,2167	1.2763	1.3382
	•1,2653	1.3401	1,4185

 

Знайдіть значення k 5 •/., s у таблиці, потім помножте на 100 доларів:

S5= $ 100 (k 5%,5) = $ 100 (1,2763) = $ 127,63. 3. Рішення за допомогою фінансового калькулятора:

Введені дані: Результат:

N 5,1 5, PV-100, РМТ 0, FV = 127/63 Зазначимо, що згідно з процедурою розрахунку ви по­винні ввести дані тільки у заданій послідовності, а потім натисну­ти кнопку FV, після чого отримаєте відповідь - 127,63.

ринок фінансових послуг: теорія і практика