МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

 

2.1. Гармоническое колебание

 

Гармоническое колебание должно записываться [1] в канонической форме

 

, (2.1)

 

где - амплитуда, - круговая частота, - циклическая частота, - период, а - начальная фаза.

Если гармонический сигнал представлен не в канонической форме (2.1), то его необходимо преобразовать с использованием тригонометрических соотношений, приведенных в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Исходная функция	Результат преобразования

 

 

Если сигнал задан в виде , то после преобразования получим

 

 

Примеры преобразований гармонического сигнала в каноническую форму показаны в табл. 2.2.

 

2.2. Комплексная амплитуда

 

Для гармонического сигнала (тока или напряжения)

 

комплексная амплитуда равна

 

, . (2.2)

 

Пусть ток равен , тогда его комплексная амплитуда равна . Если известна комплексная амплитуда напряжения при частоте , то мгновенные значения напряжения имеют вид .

В табл. 2.2 приведены примеры записи мгновенных значений гармонических сигналов, соответствующих им канонических форм и комплексных амплитуд.

 

Таблица 2.2

Исходная функция	Каноническая форма	Комплексная амплитуда

 

Проведите необходимые преобразования самостоятельно.

 

2.3. Комплексные числа

 

Комплексные числа могут записываться в алгебраической и показательной формах

,

где и - действительная и мнимая части,

 

,

 

(без точки сверху) и - модуль и аргумент комплексного числа соответственно,

 

 

В табл. 2.3 приведены комплексные числа в алгебраической форме и результаты их преобразования в показательную форму (проведите самостоятельно необходимые вычисления, связанные с переходом от алгебраической формы к показательной и наоборот).

Полезно запомнить следующие соотношения

.

Рассмотрим операции с комплексными числами.

Пусть заданы два комплексных числа в виде и , тогда их сумма и разность соответственно равны

 

,

,

то есть сложение и вычитание комплексных чисел удобно проводить в алгебраической форме. Если хотя бы одно из этих чисел задано в показательной форме, то его необходимо представить в алгебраическом виде, например,

 

При необходимости результат можно представить в показательной форме

.

 

Таблица 2.3

-5

 

Найдем разность этих же чисел

Проведите вычисления самостоятельно. На рис. 2.1 показана программа вычислений в среде MathCAD.

 

Рис. 2.1

 

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме:

 

Примеры расчета показаны в табл. 2.4.

Таблица 2.4

 

Проведите вычисления самостоятельно.

Если одно из чисел представлено в алгебраической форме, то его необходимо перевести в показательную форму, примеры показаны в табл. 2.3.

Полезно использовать соотношение (устранение комплексности в знаменателе дроби)

 

Комплексно-сопряженными называют числа и , а также и , они имеют одинаковые модули. Произведение комплексно сопряженных чисел равно квадрату их модуля

 

.

 

Проведем вычисления по устранению комплексности знаменателя, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5.

Исходное число	Результат

 

Вычисления из табл. 2.5 можно выполнить, преобразовав числа из алгебраической формы в показательную, как показано в табл. 2.6.

Таблица 2.6.

Исходное число	Результат

Проведите вычисления в табл. 2.5 и табл. 2.6 самостоятельно. На рис. 2.2 показана программа вычислений в среде MathCAD.

 

Рис. 2.2

 

2.4. Векторная диаграмма

 

Векторная диаграмма электрической цепи – это совокупность векторов, соответствующих гармоническим токам и напряжениям цепи, длина каждого вектора равна амплитуде (или действующему значению) сигнала, а угол наклона вектора к горизонтальной оси – начальной фазе сигнала.

Для построения векторной диаграммы простой цепи необходимо использовать известные связи начальных фаз тока и напряжения в элементах цепи:

- в сопротивлении напряжение совпадает по фазе с током, сдвиг фаз между ними равен нулю;

- в индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰ (на радиан), сдвиг фаз между ними равен 90⁰;

- в емкости напряжение отстает по фазе от тока на 90⁰ (на радиан), сдвиг фаз между ними равен -90⁰.

При построении диаграммы необходимо использовать уравнения первого и второго законов Кирхгофа в векторной форме.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 2.3. Мгновенные значения гармонических токов и напряжений обозначены строчными (маленькими) латинскими буквами.

 

Рис. 2.3

 

Цепь представляет собой параллельное соединение двух ветвей, одна из которых является последовательным соединением элементов и . Поэтому построение векторной диаграммы целесообразно начинать с тока этого последовательного соединения, как показано на рис. 2.4 (вектор строится произвольно).

Рис. 2.4

 

Напряжение на сопротивлении синфазно с током , поэтому их векторы совпадают. Напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90⁰, поэтому соответствующий ему вектор изображается повернутым на прямой угол против часовой стрелки относительно тока . По второму закону Кирхгофа сумма напряжений на и рав-

на напряжению на сопротивлении , а ток через совпадает по фазе с напряжением (их векторы совпадают по направлению). По первому закону Кирхгофа сумма токов и равна току источника . Векторная диаграмма построена без численных расчетов (качественно). Как видно, длины векторов выбираются произвольно, за исключением тех, которые строятся по законам Кирхгофа.

Рассмотрим цепь в виде последовательного соединения сопротивления, индуктивности, емкости и источника напряжения, показанную на рис. 2.5 (она будет использоваться в лабораторной работе).

 

Рис. 2.5

 

В последовательной цепи построение векторной диаграммы начинают с вектора общего тока . Он отображается произвольно, например, горизонтально и направленным вправо, как показано на рис. 2.6. Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на емкости отстает от него по фазе на 90⁰, а напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 90⁰, соответст-

Рис. 2.6 вующие векторы изображены

на рис. 2.5 с произвольной длиной. Сумма этих напряжений равна ЭДС источника .

Построим векторную диаграмму цепи, показанной на рис. 2.7а. В цепи последовательно соединены индуктивность и параллельно включенные сопротивление и емкость , поэтому начать целесообразно с напряжения на параллельном соединении , как показано на рис. 2.7б.

 

Рис. 2.7

 

Ток через сопротивление совпадает по фазе с напряжением , а через емкость – опережает его по фазе на 90⁰. Сумма токов и согласно первому закону Кирхгофа равна току индуктивности , а напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 90⁰. По второму закону Кирхгофа сумма напряжений и равна ЭДС источника .

 

2.5. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

 

Комплексные сопротивления и проводимости элементов цепи приведены в табл. 2.7. Для сопротивления они действительны, а для реактивных элементов (индуктивности и емкости ) являются мнимыми числами.

В общем случае комплексное сопротивление можно записать в виде

, (2.3)

 

где - активная, а - реактивная составляющие сопротивления. Для комплексной проводимости аналогично получим

 

, (2.4)

 

где - активная, а - реактивная составляющие проводимости.

Таблица 2.7.

Элемент	Сопротивление	Проводимость

 

Реактивное сопротивление емкости и реактивная проводимость индуктивности отрицательны,а реактивное сопротивление индуктивности и реактивная проводимость емкости положительны. Активные сопротивление и проводимость не могут быть отрицательны.

Если реактивное сопротивление положительно (реактивная проводимость отрицательна), то цепь имеет индуктивный характер, а иначе – емкостный.

При последовательном соединении элементов их комплексные сопротивления складываются, а при параллельном суммируются их комплексные проводимости.

Сопротивление смешанной цепи рассчитывается следующим образом. В цепи выделяются простые фрагменты с последовательным или параллельным соединением, вычисля-

ются их полные комплексные сопротивления (проводимости) и эти фрагменты заменяются одним эквивалентным элементом. Цепь упрощается, и процедура вновь повторяется.

Рассмотрим пример вычисления комплексного сопротивления цепи, показанной на рис. 2.8а при , и на частоте .

Рис. 2.8

 

В цепи имеется фрагмент с простым параллельным соединением элементов и , эквивалентное комплексное сопротивление которого равно

.

 

Заменяя выбранный фрагмент эквивалентным элементом с комплексным сопротивлением , получим цепь на рис. 2.8б. Ее комплексное сопротивление записывается в виде

 

(2.5)

Подставляя исходные данные, получим , то есть цепь имеет индуктивный характер.

Как видно, активная и реактивная составляющие сопротивления из (2.5) зависят от частоты гармонического сигнала. Программа и результаты расчета этих зависимостей показаны на рис. 2.9 при , для двух значений сопротивления и .

 

Рис. 2.9

 

Как видно, на различных частотах значения составляющих комплексного сопротивления сильно изменяются, в том числе и характер сопротивления.

Цепь на рис. 2.9а можно рассчитать через эквивалентную проводимость параллельного соединения элементов и ,

,

 

вычисляя сопротивление цепи на рис. 2.9б по формуле

 

.

Очевидно, получим (2.5). Проводимость цепи равна

 

 

Проведем расчет комплексной проводимости цепи на рис. 2.10а при , и на частоте .

 

Рис. 2.10

 

В цепи имеется простое последовательное соединение двух элементов и , его сопротивление равно

.

Получим эквивалентную цепь, показанную на рис. 2.10б. Ее проводимость можно записать в виде

 

 

Подставляя значения параметров цепи, получим (цепь имеет емкостный характер). Сопротивление цепи равно

 

 

(проведите вычисления самостоятельно).

 

2.6. Комплексная мощность

 

Полная комплексная мощность гармонического воздействия на двухполюсник (рис. 2.11) с комплексными амплитудами тока и напряжения равна

 

, (2.6)

Рис. 2.11

где - комплексно-сопряжен-

ная амплитуда тока (значение с противоположным знаком аргумента). Из (2.6) получим

 

(2.7)

 

- сдвиг фаз между напряжение6м и током в двухполюснике. Действительная часть является мощностью, потребляемой цепью от источника (активной мощностью ),

 

, (2.8)

 

а мнимую часть называют реактивной мощностью,

 

. (2.9)

 

Активная мощность измеряется в ваттах (Вт), реактивная в ВАр, а комплексная в ВА.

Пусть ток и напряжение двухполюсника на рис. 2.11 представлены в виде

 

 

(напряжение отстает по фазе от тока, сдвиг фаз между напряжением и током равен ). Комплексные амплитуды тока и напряжения соответственно равны

 

 

а комплексно-сопряженная амплитуда тока - соответственно

 

,

 

а комплексная мощность определяется выражением

 

 

Потребляемая и реактивная мощности равны