ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 

6.1. Начальные условия

 

Начальные условия переходного процесса в электрической цепи это значения всех напряжений емкостей и токов индуктивностей в момент коммутации (мгновенно после коммутации). Они вычисляются из тех же значений напряжений и токов непосредственно до коммутации () на основе законов коммутации

 

(6.1)

 

Расчет токов и напряжений в цепи до коммутации (в стационарном режиме) ведется рассмотренными ранее методами расчета цепей постоянного тока или цепей при гармонических воздействиях.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.1б.

 

Рис. 6.1

 

До коммутации ток источника был постоянным. На постоянном токе индуктивность является коротким замыканием и цепь преобразуется к виду, показанному на рис. 6.1в.

 

Ток в цепи рис.6.1в равен (проведите расчет цепи постоянного тока с помощью закона Ома самостоятельно)

.

По закону коммутации (6.1) начальное условие переходного процесса имеет вид

 

. (6.2)

 

Если все источники сигнала до коммутации выключены, как показано на рис. 6.2а, то начальные условия переходного процесса равны нулю (цепь с нулевыми начальными условиями).

Рис. 6.2

 

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3б.

 

Рис. 6.3

До коммутации в цепи в цепи действовал источник постоянного напряжения, тогда все токи и напряжения постоянны, при этом индуктивность заменяется коротким замыканием, а емкость – разрывом цепи, как показано в схеме на рис. 6.3в. Тогда ток индуктивности равен

а напряжение емкости , так как ветвь с последовательно соединенными емкостью и сопротивлением замкнута и напряжение на ней равно нулю.

 

6.2. Классический метод расчета переходных

процессов в цепях первого порядка

 

Запись и решение дифференциального уравнения целесообразно проводить для тока или напряжения, подчиняющегося законам коммутации, а затем можно определять искомый сигнал.

Рассмотрим свободный процесс в цепи на рис. 6.4б при выключении источника тока (рис. 6.4а).

 

Рис. 6.4

 

Начальное условие (ток индуктивности в момент коммутации) было определено ранее в (6.2).

После коммутации цепь принимает вид, показанный на рис. 6.4в. Общим методом расчета цепи по уравнениям Кирхгофа запишем полную систему уравнений вида

 

(6.3)

 

Подставляя уравнения закона Ома в последнее уравнение второго закона Кирхгофа, получим

 

,

 

а после преобразования запишем дифференциальное уравнение

 

. (6.4)

 

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

,

а его решение

. (6.5)

Общее решение дифференциального уравнения (6.4) равно

,

где корень характеристического уравнения определяется (6.5). Подставляя (6.5), получим

 

. (6.6)

 

Постоянная интегрирования определяется из общего решения дифференциального уравнения (6.6) и начальных условий

,

тогда получим

. (6.7)

 

Временная диаграмма тока индуктивности показана на рис. 6.5а.

 

Рис. 6.5

 

Можно найти напряжение на индуктивности

 

,

Соответствующий график показан на рис. 6.5б.

Проведем расчет свободного процесса в цепи, показанной на рис. 6.6б при выключении источника напряжения (рис. 6.6а).

 

Рис. 6.6

 

Определим начальное условие (напряжение на емкости) . До коммутации на постоянном токе заменим емкость разрывом цепи и получим схему на рис. 6.6в.По закону Ома постоянный ток равен

,

тогда для напряжения получим

.

Ток в разрыве цепи отсутствует, напряжение равно нулю, тогда напряжение на емкости равно

и по закону коммутации начальное условие запишется в виде

 

. (6.8)

 

После коммутации идеальный источник напряжения выключается (заменяется коротким замыканием) и схема цепи приобретает вид, показанный на рис 6.7.

 

Рис. 6.7

 

По законам Ома и Кирхгофа составим систему уравнений электрического равновесия цепи на рис. 6.7 в виде

 

(6.9)

 

Из третьего и четвертого уравнений

,

из последнего уравнения (6.9)

,

тогда из второго уравнения

.

Из шестого уравнения

,

тогда из первого уравнения

.

Подставляя найденные токи в уравнение первого закона Кирхгофа, получим

 

,

 

а после преобразований запишем дифференциальное уравнение свободного процесса в канонической форме

 

(6.10)

 

(проведите преобразования самостоятельно). Общее решение имеет вид

, (6.11)

 

где корень характеристического уравнения

 

равен

.

 

Для определения постоянной интегрирования используем начальное условие (6.8). Из (6.11) с учетом (6.8) получим

 

,

тогда окончательно

. (6.12)

 

Зависимость напряжения на емкости от времени показана на рис. 6.8.

 

Рис. 6.8

 

Определив напряжение на емкости, можно найти любые токи или напряжения.

Проведем расчет переходного процесса в цепи на рис. 6.9 при включении источника тока. До коммутации источники сигнала в цепи отсутствовали и начальное условие равно нулю

. (6.13)

Рис. 6.9

 

Составим систему уравнений цепи в виде

 

(6.14)

 

Подставим в последнее уравнение второе и третье и получим

,

тогда

.

Подставляя результат в четвертое уравнение, получим

и после преобразований

 

. (6.15)

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (6.15) равно сумме свободной и принужденной составляющих имеет вид

 

. (6.16)

 

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения, полученного из (6.15) обнулением правой части,

 

. (6.17)

 

Его общее решение имеет вид

 

,

 

где корень характеристического уравнения

 

,

равный

,

тогда получим

. (6.18)

 

Постоянная интегрирования определяется после расчета принужденной составляющей.

Принужденную составляющую найдем двумя способами.

В соответствии со справочником по математике при постоянной правой части дифференциального уравнения (6.15) принужденная составляющая также постоянна,

 

. (6.19)

 

Подставляя (6.19) в неоднородное дифференциальное уравнение (6.15), с учетом того, что производная константы равна нулю, получим

.

Тогда принужденная составляющая равна

 

. (6.20)

 

С другой стороны [3], принужденная составляющая является стационарным процессом в цепи (через бесконечное время после коммутации). В рассматриваемой цепи (рис. 6.9) после коммутации действует источник постоянного тока, поэтому стационарные токи и напряжения будут постоянными и эквивалентная схема цепи в стационарном режиме примет вид, показанный на рис. 6.10 (индуктивность на постоянном токе заменяется коротким замыканием). Рис. 6.10

Используя закон Ома, для

получим

,

что совпадает с (6.20) (проведите расчет самостоятельно).

В результате общее решение неоднородного дифференциального уравнения (6.15) из (6.16) с учетом (6.18) и (6.20) имеет вид

 

. (6.21)

 

Определим постоянную интегрирования. Из (6.21) при получим

,

а из начальных условий

,

тогда получим уравнение для постоянной интегрирования

 

,

из которого следует

. (6.22)

 

Подставляя (6.22) в (6.21) получим выражение для искомого переходного процесса

 

,

или окончательно

. (6.23)

Временная диаграмма тока индуктивности показана на рис. 6.11

Рис. 6.11

 

Проведем расчет переходного процесса при включении источника напряжения (рис. 6.12а) в цепи на рис. 6.12б.

 

Рис. 6.12

 

До коммутации источник напряжения был выключен и начальное условие равно нулю,

 

. (6.24)

 

После коммутации в цепи включился источник напряжения с постоянной ЭДС . На основе законов Ома и Кирхгофа для мгновенных значений сигналов запишем систему уравнений

(6.25)

 

(сравните ее с (6.9)).

Из третьего и четвертого уравнений (6.25)

,

из последнего уравнения (6.25)

,

тогда из второго уравнения

.

Из шестого уравнения

,

тогда из первого уравнения

.

Подставляя найденные токи в уравнение первого закона Кирхгофа (пятое уравнение (6.25)), получим

 

,

а после преобразований запишем неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса в канонической форме

 

(6.26)

 

(проведите алгебраические преобразования самостоятельно).

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (6.26) является суммой свободной и принужденной составляющих

. (6.27)

 

Свободная составляющая переходного процесса является решением однородного дифференциального уравнения, полученного из исходного обнулением правой части,

 

, (6.28)

 

его общее решение имеет вид

 

, (6.29)

 

где корень характеристического уравнения

 

равен

.

Определим принужденную составляющую . Так как правая часть уравнения (6.26) постоянна, то и его частное решение также является константой . Подставляя ее в (6.26) получим

 

,

тогда

. (6.30)

 

С другой стороны принужденная составляющая переходного процесса равна его стационарному значению. В цепи на рис. 6.12 после коммутации действует источник постоянного напряжения, следовательно, через бесконечное время после коммутации (в стационарном режиме) все токи и напряжения в цепи станут постоянными. Эквивалентная схема цепи на постоянном токе показана на рис. 6.13.

 

Рис. 6.13

 

Напряжение на емкости (разрыве ветви) в цепи рис. 6.13 равно

,

что совпадает с (6.30).

В результате из (6.27) с учетом (29) и (6.30) общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

 

. (6.31)

 

Для определения постоянной интегрирования используем начальное условие (6.24). Из (6.31) при

 

или ,

 

тогда окончательно

 

. (6.32)

 

Временная диаграмма напряжения на емкости приведена на рис. 6.14.

 

Рис. 6.14

 

 

6.3. Операторный метод расчета переходных

процессов в цепях первого порядка

 

6.3.1. Формирование операторной эквивалентной

схемы цепи

 

Расчет переходного процесса операторным методом начинается с формирования эквивалентной операторной схемы цепи.

Прежде всего, элементы цепи заменяются их операторными эквивалентами. При нулевых начальных условиях элементы заменяются эквивалентными операторными сопротивлениями в соответствии с таблицей.

 

Элементы	Сопротивления	Проводимости

 

Тогда операторные токи и напряжения в элементах цепи связаны классическим выражением закона Ома в виде

 

или . (6.33)

 

При ненулевых начальных условиях реактивные элементы цепи с ненулевыми начальными условиями необходимо заменить эквивалентными схемами замещения, показанными на рис. 6.15.

 

На рис. 6.15а показаны два варианта замены заряженной емкости (с начальным условием ) с идеальными источниками напряжения или тока. На рис. 6.15б показаны два варианта замены индуктивности с начальным условием с идеальными источниками напряжения или тока.

Рис. 6.15

 

В результате необходимо изобразить графически эквивалентную операторную схему цепи с указанием положительных направлений и условных обозначений токов и напряжений.

Связь между напряжениями и токами в цепи описывается законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма операторных токов, сходящихся в узле, равна нулю,

 

. (6.34)

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма операторных напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных ЭДС включенных в контур идеальных источников напряжения,

 

. (6.35)

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов, напряжений, ЭДС и направлений обхода контуров.

 

6.3.2. Цепи с нулевыми начальными условиями

 

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.16б при нулевых начальных условиях, и определим ток и напряжение индуктивности.

Рис. 6.16

 

На рис. 6.16в приведена эквивалентная операторная схема цепи, в которой обозначены операторные сопротивле-

ния, положительные направления и условные обозначения токов и напряжений.

По таблице преобразований Лапласа в приложении 2 изображение тока идеального источника равно

 

. (6.36)

По закону Ома

,

для тока индуктивности

 

, (6.37)

 

тогда для напряжения индуктивности получим

 

. (6.38)

 

Подставим (6.36) и преобразуем результаты (6.37) и (6.37) в каноническую форму для таблицы преобразований Лапласа,

, (6.39)

. (6.40)

 

По таблице в приложении 2 находим обратное преобразование Лапласа (оригиналы тока напряжения индуктивности)

, (6.41)

 

. (6.42)

 

Выражение (6.41) совпадает с полученным ранее (6.11) классическим методом, график показан на рис. 6.11. Сравните сложность соответствующих расчетов. Временную диаграмму напряжения постройте самостоятельно, проверьте соотношение

.

 

Определим напряжение на емкости в цепи, показанной на рис. 6.17б при включении источника напряжения с ЭДС вида рис. 6.17а.

 

Рис. 6.17

 

Эквивалентная операторная схема цепи показана на рис. 6.17в. Операторная ЭДС источника определяется из таблицы в приложении 2 и равна

 

. (6.43)

Для расчета можно использовать общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа. Полная система уравнений цепи имеет вид

(6.44)

 

Выразим из первых трех уравнений закона Ома токи ветвей и подставим их в четвертое уравнение и уравнение первого закона Кирхгофа, тогда

(6.45)

 

Выразим из первого уравнения (6.45) и поставим его во второе и четвертое, в результате запишем

 

(6.46)

Из второго уравнения (6.46) выразим и подставим его в первое, тогда

 

(6.47)

 

Подставив второе уравнение в первое, получим уравнение для искомого операторного напряжения емкости

 

, (6.48)

 

найдем его в виде

 

 

и окончательно

 

. (6.49)

 

Преобразуем (6.49) к каноническому виду для таблиц преобразования Лапласа (в знаменателе дроби сомножители с единичными коэффициентами при старшей степени )

 

. (6.50)

 

По таблице из приложения 2 получим

 

, (6.51)

 

что совпадает с (6.32), график показан на рис. 6.14.

Решим задачу (рис. 6.17) методом узловых напряжений. Эквивалентная операторная схема цепи показана на рис. 6.18. Операторная ЭДС источника определяется из (6.43).

 

Рис. 6.18

 

Запишем уравнение метода узловых напряжений (). Для этого обозначим узловое напряжение и выразим через него токи всех ветвей. Для контура с источником напряжения по второму закону Кирхгофа

 

,

тогда

.

Для остальных ветвей используем закон Ома

 

.

Тогда из уравнения первого закона Кирхгофа получим уравнение метода узловых напряжений в виде

 

. (6.52)

Решая (6.52), определим ,

 

 

Найдем искомое напряжение на емкости

 

Преобразуем его к каноническому виду для таблиц преобразования Лапласа (сравните с (6.50)),

 

 

По таблице из приложения 2 определим оригинал напряжения на емкости, который совпадает с (6.51). Проведите расчет самостоятельно.

 

6.3.3. Цепи с ненулевыми начальными условиями

 

При ненулевых начальных условиях соответствующие реактивные элементы заменяются эквивалентными схемами на рис. 6.15. Рассмотрим пример цепи на рис. 6.19б (ранее она рассмотрена на рис. 6.4). До коммутации в цепи действовал источник тока (рис. 6.19а) и начальное условие определяется выражением (6.2)

 

Рис. 6.19

 

На рис. 6.19в показана эквивалентная операторная схема цепи, в которой индуктивность и ненулевым начальным током заменена ее эквивалентом согласно рис. 6.15.

Определим операторный ток индуктивности в схеме на рис. 6.19в,

Из таблицы преобразования Лапласа в приложении 2 найдем оригинал тока индуктивности

. (6.53)

что совпадает с (6.7).

Определим напряжение на емкости в цепи на рис. 6.20, ранее рассмотренной на рис. 6.6.

 

Рис. 6.20

Начальное условие равно (6.8),

 

. (6.54)

 

Заменяя емкость с начальным напряжением согласно ее эквиваленту на рис. 6.15, получим операторную эквивалентную схему цепи на рис. 6.20в.

Используя закон Ома, получим выражение для операторного напряжения емкости

 

По таблице преобразования Лапласа из приложения 2 можно записать

 

В результате с учетом (6.54) получим

 

, (6.55)

 

что полностью совпадает с (6.12).

 

6.4. Характеристики переходных процессов

 

Переходные процессы протекают после коммутации и по прошествии некоторого времени переходят в установившиеся, а свободная составляющая затухает до нуля, например, как показано на рис. 6.21 для апериодического (рис. 6.21а) и колебательного (рис. 6.21б) процессов.

Рис. 6.21

 

Основной временной характеристикой переходного процесса является постоянная времени - интервал времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса в апериодическом режиме (рис. 6.21а) или его амплитуда в колебательном режиме (рис. 6.21б) уменьшаются в раза от исходного значения.

В цепи первого порядка могут возникать только апериодические свободные процессы (рис. 6.21а). Для поиска свободной составляющей с использованием классического метода расчета записывается дифференциальное уравнение переходного процесса и его характеристическое уравнение вида

,

тогда постоянная составляющая равна

. (6.56)

При использовании операторного метода определяется изображение по Лапласу искомого сигнала вида

 

или ,

 

Тогда постоянная времени определяется выражением (6.56)

В цепи второго порядка могут возникать апериодические (рис. 6.21а) и колебательные (рис. 6.21б) свободные процессы. Строго говоря, постоянная времени в этом случае находится только в колебательном режиме. При использовании классического метода расчета переходного процесса записываются его дифференциальное, а затем и характеристическое уравнения, и определяются его корни в колебательном режиме вида

, (6.57)

 

где - коэффициент затухания, а - частота свободных колебаний. Тогда постоянная времени цепи равна

. (6.58)

В рамках операторного метода расчета определяется изображение по Лапласу искомого сигнала

или

 

и находятся его полюсы (корни знаменателя) вида (6.57), тогда постоянная времени равна (6.58).

Рассмотрим свободный процесс в цепи на рис. 6.22б при выключении источника тока (рис. 6.22а).

 

Рис. 6.22

 

Для классического метода расчета цепь после коммутации (выключения источника) показана на рис. 6.22в и соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

,

а характеристическое уравнение

(получите их самостоятельно),

тогда постоянная составляющая равна

 

. (6.59)

 

Для операторного метода расчета эквивалентная схема цепи показана на рис. 6.22г, при этом ток индуктивности равен

 

,

 

тогда постоянная времени будет определяться выражением (6.59) (проведите расчет самостоятельно при и ).

Рассмотрим цепь второго порядка на рис. 6.23б при выключении источника напряжения (рис. 6.23а).

 

Рис. 6.23

При расчете классическим методом для схемы цепи после коммутации (рис. 6.23в) получим

 

 

и запишем характеристическое уравнение

 

.

 

Его корни и имеют вид

 

(6.60)

где

(6.61)

 

- коэффициент затухания переходного процесса, - характеристическое сопротивление параллельного колебательного контура, - его резонансная частота,

 

добротность параллельного колебательного контура в параллельной эквивалентной схеме(повторите соответствующий материал).

В колебательном режиме корни комплексные, то есть выполняется условие (получите его самостоятельно), тогда обозначив частоту свободных колебаний

 

, (6.62)

получим

(6.63)

 

Постоянная времени обратно пропорциональна коэффициенту затухания и равна

 

. (6.64)

 

Обратите внимание, что полученное выражение отличается от известного для последовательного колебательного контура.

Проведем расчет операторным методом, операторная эквивалентная схема цепи показана на рис. 6.23г. Перестроим эквивалентную схему и получим цепь на рис. 6.24.

 

Рис. 6.24

 

Воспользуемся для расчета законом Ома. Операторный ток индуктивности равен

 

Преобразуя, получим

где

, , ,

 

Разложим знаменатель на простые множители

 

,

 

где и - корни уравнения

 

,

 

равные (6.60). В результате постоянная времени определяется выражением (6.64). При , и из (6.64) получим .

В инженерной практике время установления переходного процесса принимается равным

, (6.65)

то есть для его расчета необходимо определить постоянную времени. При , и из (6.65) получим .

Декремент затухания свободного процесса равен

 

, (6.66)

 

где и - значение амплитуд свободных колебаний, разделенных одним периодом (рис. 6.25). Его можно определить по формуле

, (6.67)

 

где -рассмотренный выше коэффициент затухания, а - период свободных колебаний,

. (6.68)

- частота свободных колебаний.

 

Рис. 6.25

Величины коэффициента затухания и частоты свободных колебаний определяются из корней характеристического уравнения (полюсов операторного тока или напряжения) в колебательном режиме.

Например, для цепи на рис. 6.23б корни характеристического уравнения определяются выражениями (6.60) - (6.63) при , тогда

 

(6.69)

 

При , и получим

 

,

 

,

 

,

 

,

 

и из (6.67) следует

.

 

Логарифмический декремент затухания равен

 

. (6.70)

 

Его расчет проводится аналогично предыдущему и для цепи на рис. 6.24б из (6.69) получим

 

. (6.71)

 

При , и получим (проведите расчет самостоятельно).

Логарифмический декремент затухания определяется добротностью колебательного контура

 

, (6.72)

 

В рассматриваемом случае при получим то же значение . С другой стороны, найдя по осциллограмме декремент и затем ег