НА ЛИНЕЙНУЮ ЦЕПЬ

 

7.1. Переходная и импульсная характеристики цепи

 

Свойства четырехполюсника могут быть описаны во временной области в виде переходной и импульсной характеристик.

Переходная характеристика цепи – это отношение реакции цепи на входное воздействие в виде единичной функции (функции Хэвисайда) к единице размерности входного воздействия (1 В или 1 А). График единичной функции показан на

рис. 7.1. Рис. 7.1

Импульсная характеристика

цепи - это отношение реакции цепи на входное воздействие в виде единичного импульса (функции Дирака или -функции) к единице размерности входного воздействия (1 В или 1 А). График -функции Дирака показан на рис. 7.2. Переходная характеристика безразмерна, а импульсная измеряется в 1/с. Рис. 7.2

Временные характеристики цепи

определяются через операторный коэффициент передачи с помощью преобразования Лапласа:

- импульсная характеристика является оригиналом операторного коэффициента передачи,

; (7.1)

- переходная характеристика является оригиналом опе-

раторного коэффициента передачи, деленного на ,

 

. (7.2)

 

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 7.3.

 

Рис. 7.3

 

Операторный коэффициент передачи равен

 

 

По таблице из приложения 2 находим оригинал операторного коэффициента передачи – импульсную характеристику цепи (7.1)

 

. (7.2)

Обозначим

.

Изображение по Лапласу переходной характеристики (7.2) равно

 

а соответствующий оригинал – переходная характеристика- определяется по таблице в приложении 2

(7.3)

(повторите расчеты самостоятельно).

Графики переходной и импульсной (без -функции) характеристик показаны на рис. 7.4 при и .

 

Рис. 7.4

Рассмотрим четырехполюсник, схема которого показана на рис. 7.5а. Его операторная эквивалентная схема показана на рис. 7.5б.

 

Рис. 7.5

 

Определим операторный коэффициент передачи. По закону Ома входной операторный ток равен

 

,

 

тогда определим выходное напряжение

 

 

Подставляя выражение для тока , получим

 

В результате получим выражение для операторного коэффициента передачи

 

,

 

которое преобразуем к виду, требуемому для таблиц преобразования Лапласа

 

. (7.4)

 

По таблице из приложения 2 находим оригинал операторного коэффициента передачи – импульсную характеристику цепи

 

. (7.5)

Изображение по Лапласу переходной характеристики из (7.4) равно

 

, (7.6)

а соответствующий оригинал – переходная характеристика- определяется по таблице в приложении 2

 

. (7.7)

 

Графики переходной и импульсной характеристик показаны на рис. 7.6 при и .

 

Рис. 7.6

 

7.2. Временной метод расчета (интеграл Дюамеля)

 

Определим реакцию цепи на рис. 7.3 на входное напряжение в виде одиночного прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью , показанного на рис. 7.7.

Рис. 7.7

 

Переходная и импульсная характеристики цепи имеют вид

.

 

В соответствии с временным методом расчета выходное напряжение равно

 

 

В полученном выражении учтено «фильтрующее свойство» -функции (повторите необходимый материал)

.

Входное напряжения описывается по разному на различных интервалах времени

 

 

На первом интервале времени для выходного напряжения получим

 

 

На втором временном интервале получим

 

 

Зависимость выходного напряжения от времени при , , и на интервале времени от 0 до 20 мкс показана на рис. 7.8.

Рис. 7.8

 

Напишите программу расчета временной диаграммы полученного выходного сигнала, рассмотрите влияние параметров сигнала и цепи.

Проведем расчет реакции цепи на рис. 7.5 с импульсной характеристикой (7.5) на входное воздействие в виде импульса напряжения, показанного на рис. 7.9а,

 

 

Рис. 7.9

 

 

Вычисляя интеграл (проведите расчет самостоятельно) получим

 

 

Временная диаграмма выходного напряжения показана на рис. 7.9б при , , и .

Напишите программу расчета, рассмотрите влияние параметров сигнала и цепи на форму выходного напряжения.

 

 

7.3. Операторный метод расчета

 

Операторный метод расчета реакции цепи на сложный входной сигнал предполагает определение изображения по Лапласу входного воздействия и операторного коэффициента передачи четырехполюсника, тогда изображение по Лапласу выходного сигнала равно

 

, (7.8)

 

а выходной сигнал является его оригиналом

 

. (7.9)

 

Рассмотрим воздействие напряжения вида

 

(7.10)

 

на вход четырехполюсника, операторная эквивалентная схема которого показана на рис. 7.3.

Операторный коэффициент передачи цепи был вычислен ранее и равен

 

(7.11)

Изображение по Лапласу входного напряжения (7.10) по таблице из приложения 2 имеет вид

,

тогда изображение выходного сигнала определяется из (7.8)

 

 

Оригинал определим по таблице в приложении 2,

 

 

На рис. 7.10 показаны временные диаграммы входного (пунктир) и выходного (сплошные линии) напряжения при , , для и .

 

Рис. 7.10

 

Проанализируйте полученные результаты, получите формулы для тока индуктивности, постройте соответствующие графики.

Рассмотрим воздействие на ту же цепь (рис. 7.3) одиночного прямоугольного импульса, показанного на рис. 7.11а.

Рис. 7.11

Прямоугольный импульс можно сформировать в виде суммы двух скачков напряжения, показанных на рис. 7.11б и рис. 7.11в. Скачок напряжения можно описать с помощью единичной функции Хэвисайда, тогда получим

 

. (7.12)

 

Пусть функция задержана во времени на интервал и записывается в виде . Соответствующие им изображения по Лапласу и описываются теоремой запаздывания вида

 

. (7.13)

 

С учетом (7.13) из (7.12) и таблицы в приложении 2 получим изображение по Лапласу входного сигнала

 

.

Операторный коэффициент передачи цепи на рис. 7.3 получен ранее и определяется выражением

 

,

 

тогда изображение выходного сигнала равно

 

.

 

Подставляя выражения для и , получим

(7.14)

 

На интервале времени существует оригинал только от первого слагаемого (7.14), равный

 

 

(получите результат самостоятельно). Если же , то вычисляется изображение обоих слагаемых (7.14) и второй оригинал задерживается на интервал времени в соответствии с теоремой запаздывания (в нем переменная заменяется на ), тогда получим

 

 

(проведите расчет самостоятельно).

Выражения для выходного напряжения совпадают с полученными ранее результатами, показанными на рис. 7.8.

Реакция на единичный скачок напряжения численно равна переходной характеристике цепи, тогда с учетом (7.3) на интервале времени выходное напряжение равно

 

При включается в действие второй скачок напряжения, тогда

 

 

Как видно, получены те же соотношения для выходного напряжения.

 

7.4. Пример схемотехнического моделирования

 

Проведем схемотехническое моделирование в пакете программ MicroCAP цепи на рис. 7.3 при и . На нее воздействует прямоугольный импульс вида рис. 7.7 при и . Модель показана на рис. 7.12.

 

Рис. 7.12

На рис. 7.13 показана переходная характеристика цепи, а на рис. 7.14 – временная диаграмма выходного напряжения.

 

Рис. 7.13

 

Рис. 7.14

Модель позволяет исследовать влияние на выходной сигнал параметров входного воздействия и элементов цепи. На рис. 7.15 в качестве примера показаны полученные в пошаговом режиме временные диаграммы выходного напряжения (в узле 2) для различных значений индуктивности .

 

Рис. 7.15

 

Как видно, схемотехническое моделирование является высокоэффективным методом исследования электрических цепей. Его целесообразно использовать для проверки правильности расчетов.