Выбор подходящего алгоритма для решения той или иной задачи на собственные значения определяется типом собственных значений, типом матрицы и числом искомых собственных значений. Чем сложнее задача, тем меньше число алгоритмов, из которых можно выбирать. Таблица 1 позволяет облегчить этот выбор. Обычно пакеты математического обеспечения ЭВМ содержат подпрограммы, в которых используются все эти алгоритмы или некоторые из них. Одним из эффективных способов использования имеющегося математического обеспечения является одновременное применение двух подпрограмм, позволяющее совместить их лучшие качества. Например, имея матрицу общего вида, можно методом Хаусхолдера свести ее к виду Гессенберга, а затем с помощью алгоритма QR найти собственные значения. При этом будут использованы как быстрота, обеспечиваемая методом Хаусхолдера, так и универсальность алгоритма QR.
Таблица 1 Выбор алгоритма решения задачи на собственные значения
| Название алгоритма
| Применяется для
|
Результат
| Рекомендуется для
отыскания собственных значений
|
Примечание
| |
| |
| |
| Наибольшего или наименьшего
| Всех <=6
| Всех >=6
| |
| Определитель (итерация)
| Матриц общего вида
| Собственные значения
|
| *
|
| Требует нахождения корней полинома общего вида
| |
| Итерация
(итерация)
| То же
| Собственные значения и собственные векторы
| *
| *
| *
| Обеспечивает наилучшую точность для наибольшего и наименьшего собственных значений
| |
| Метод Якоби (преобразование)
| Симметричных матриц
| Диагональная форма матрицы
|
| *
| *
| Теоретически требует бесконечного числа шагов
| |
|
Метод Гивенса
(преобразование)
| То же
| Трехдииональльная форма матрицы
|
| *
| *
| Требует знания корней простого полинома
| |
| Несимметричных матриц
| Форма Гессенберга
|
| *
| *
| Требует применения дополнительного метода
| |
| Метод Хаусхолдера (преобразование)
| Симметричных матриц
| Трехдиагональная форма матрицы
|
| *
| *
| Требует знания корней простого полинома
| |
| Метод Хаусхолдера (преобразование)
| Несимметричных матриц
| Форма Гессенберга
|
| *
| *
| Требует применения дополнительного метода
| |
| Метод LR (преобразование)
| Матриц общего вида
| Квазидиагональная форма матрицы
|
| *
| *
| Бывает неустойчив
| |
| Метод QR (преобразование)
| То же
| То же
|
| *
| *
| Лучший метод, обладающий наибольшей общностью
| |
