ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

 

Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собст­венные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде

dеt(А—lE) = 0,

где А — симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим

 

a 1 - l	b2
b1	a 2 - l			= 0
			bn
		bn	a n - l

 

Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. Удобство трех­диагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равными нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов

f _m (l) = (a _m - l) f _m-1 (l) – b² _m f _{m -2}(l).

Приняв

f₀ (l) = 1 и f₁ (l) = a₁ - l при r = 2,.... п,

 

получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома f_j (l) располагаются между корнями полинома f_j+1 (l). Поэтому для f₁ (l) = a₁— l можно утверждать, что значение l К = а₁ заключено между корнями полинома f₂ (l) == (a₂ — l) (a₁ — l) —b₂². Это облегчает итера­ционное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полино­ма, то их можно найти методом половинного деления. Так после­довательно находят корни всех полиномов, и последний из них f_n (l) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).

 

Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором f_n (b) <> 0, число собствен­ных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности

1, f₁ (b), f₂ (b), …, (1) ⁿ f_n (b).

Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить че­рез V(b), то число собственных значений в интервале действи­тельных чисел [b, с] будет равно V(b)—V(c).

 

 

	Корень многочлена f 1 (l) f1 (b)
	Корни многочлена f 2 (l) f1 (b)
	Корни многочлена f3 (l) f1 (b)

 

………………………………………………………………………………………………………..

 

	Корни многочлена fn- 1 (l) f1 (b)
	Корни многочлена f n (l) f1 (b)

 

 

Рис. 3. Итера­ционное определение корней полинома