Динамика

Примеры решения задач

5. Система состоит из частицы 1 массой 1,0 г, расположенной в точке с координатами (1, 1, 1) м, частицы 2 массой 2,0 г, расположенной в точке с координатами (-2, 2, 2) м, частицы 3 массой 3,0 г, расположенной в точке с координатами (-1, 3, -2) м, частицы 4 массой 4,0 г, расположенной в точке с координатами (3, -3, 3) м. Найти радиус – вектор центра масс системы и его модуль.

 

Дано: m 1 = 1,0г m 2 = 2,0г m 3 = 3,0г m 4 = 4,0г = 1 +1 +1 ,м = -2 +2 +2 ,м = -1 + -3 +3 ,м = 3 - 3 +3 ,м	Решение Положение центра масс определяется выражением где mi – масса i -й частицы системы; – радиус-вектор i -й частицы системы. Отсюда для радиус-вектора центра масс рассматриваемой системы, получим
а) –? б) | | –?

 

= , м.

Модуль радиус-вектора центра масс системы

| | = = = 1,27 м.

Ответ: = 0,6 +0,2 +1,1 м; | | = 1,27 м

6. На горизонтальной плоскости лежит доска массой m ₁ = 1 кг, а на доске – брусок массой m ₂ = 2кг. Коэффициент трения между бруском и доской μ₁ = 0,25, между доской и горизонтальной плоскостью μ₂ = 0,5. С каким ускорением должна двигаться доска, чтобы брусок начал с нее соскальзывать? Какую горизонтальную силу F ₀ следует при этом приложить к доске?

Дано: m 1 = 1,0 кг m 2 = 2,0 кг μ1 = 0,25 μ2 = 0,50	Решение
а) am –? б) F 0 –?

 

Движения доски и бруска одномерные и происходят вдоль оси OX, как показано на рисунке. Поэтому для решения задачи достаточно воспользоваться проекцией уравнения 2-го закона Ньютона на ось OX (как для бруска, так и для доски). Брусок в горизонтальном направлении вынуждает двигаться с ускорением без проскальзования сила трения покоя со стороны поверхности доски. По мере роста ускорения доски растет и величина силы трения покоя. Когда она достигает предельной величины, равной силе трения скольжения F _тр2, брусок начинает соскальзывать с доски. В этом случае из 2-го закона Ньютона получим

m ₂ W_m = F _тр2 = μ₁ F_{n 2} (1)

где F_{n 2} – сила нормального давления бруска на поверхность доски.

F_{n 2} = m ₂ g. (2)

Из выражений (1) и (2) следует:

W_m = μ₁∙ g = 0,25∙9,81 = 2,45 м/с².

На доску действуют в горизонтальной плоскости силы , и , как показано на рисунке. Уравнение движения доски в этом случае имеет вид:

m ₁ W_m = F _{0 –} F _тр1 – F _тр2, (3)

где F _тр1 = μ₂ F_{n 1} – сила трения скольжения между доской и горизонтальной плоскостью; F_{n 1} – сила нормального давления доски с брусом на горизонтальную плоскость.

F_{n 1} = (m ₁+ m ₂) g. (4)

Из выражений (3) и (4) получим:

F ₀ = m ₁μ₁ g + m ₂μ₁ g +μ₂(m ₁ + m ₂) g = (m ₁ + m ₂) (μ₁ +μ₂) g = 22 Н.

Ответ: W_m = 2,5 м/с²; F ₀ = 22 Н.