Законы сохранения. Работа. Энергия

Примеры решения задач

11. Однородный цилиндр массой m = 10 кг и радиусом r = 5 см свободно скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h = 1,0 м. Определить угловую скорость движения цилиндра с наклонной плоскости на горизонтальную плоскость. Начальная скорость цилиндра равна нулю.

Дано: m = 10 кг r = 5,0 см h = 1,0 м	Решение
а) ω –? б) L –?

В начальный момент движения скорость цилиндра равна нулю и его полная механическая энергия равна потенциальной . При переходе на горизонтальную плоскость полная механическая энергия цилиндра равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии цилиндра. По закону сохранения полной механической энергии получается:

(1)

Потенциальная энергия цилиндра определяется положением центра масс цилиндра над горизонтальной плоскостью. Поэтому: , где g – ускорение свободного падения.

Как известно, качение цилиндра по плоской поверхности можно рассматривать как поворот с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси вращения, проходящей по линии соприкосновения цилиндрической поверхности и плоскости. На рисунке мгновенная ось вращения проходит через точку М перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, кинетическая энергия определяется выражением

, (2)

где I – момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения. Из известного выражения для момента инерции цилиндра относительно оси симметрии и теоремы Штейнера получается:

. (3)

Выражение (1) с учетом формул (2) и (3) принимает вид

. (4)

Из уравнения (4) для угловой скорости ω следует:

рад/с.

Момент импульса L при переходе цилиндра на горизонтальную плоскость направлен вдоль мгновенной оси вращения, как показано на рисунке. Модуль момента импульса

(кг×м²)/с.

Ответ: ω = 72 рад/с; L = 2,7 (кг×м²)/с.

12. Два шара, один массой m ₁ = 2,0 кг, второй m ₂ = 3,0 кг, на горизонтальной плоскости движутся навстречу во взаимноперпендикулярных направлениях и сталкиваются абсолютно неупруго. Найти после соударения скорость шаров , направление скорости и часть механической энергии шаров, перешедшей во внутреннюю энергию шаров. До соударения скорость первого шара = 5,0 м/с, второго = 3,0 м/с.

Дано: m 1 = 2,0 кг m 2 = 3,0 кг = 5,0 м/с = 3,0 м/с	Решение Рис. 1 Рис. 2
а) –? б) α –? в) Δ W –?

На горизонтальной плоскости введем систему координат XOY, как показано на рис. 1. Соударение шаров происходит в начале системы координат. Соударение абсолютно неупругое, поэтому шары “слипаются” и движутся вместе со скоростью , как показано на рис. 1. Внешняя сила (сила тяжести), действующая на шары, перпендикулярна к горизонтальной плоскости и, следовательно, выполняется закон сохранения импульса

, (1)

где – импульс первого шара до соударения; – импульс второго шара до соударения; – импульс шаров после соударения. Из характера движения шаров и закона сохранения импульса следует, что направление векторов должны соответствовать рис. 2, а модули векторов связаны соотношением или

(2)

Из уравнения (2) для скорости получаем:

м/с.

Угол α, характеризующий направление скорости , может быть найден из рис. 2 по формуле:

.

При абсолютно неупругом соударении механическая энергия тел уменьшается на величину Δ W, перешедшую во внутреннюю энергию шаров. Движение происходит на горизонтальной плоскости, поэтому механическая энергия системы обусловлена кинетической энергией шаров. Окончательно для величины Δ W следует

Ответ: = 2,7 м/с; α = 42º; Δ W = 20 Дж.

13. На скамье Жуковского вращается с частотой n ₁ = 1,0 об/с человек, держащий в центре горизонтально расположенный металлический стержень массой m = 5,0 кг и длиной l = 1,5 м. Определить частоту вращения человека n ₂ и совершенную работу A, если он повернет стержень в вертикальное положение. Момент инерции человека и скамьи I₀ = 5,0 кг∙м².

Дано: n 1 = 1,0 об/с m = 5,0 кг l = 1,5 м I0 = 5,0 кг∙м2	Решение Вращение человека со стержнем происходит вокруг вертикальной оси, момент внешних сил относительно которой равен нулю. Поэтому величина момента импульса L относительно вертикальной оси остается неизменной при повороте стержня, т. е.: , или (1)
а) n 2 –? б) A –?

где I ₁ и ω₁ – момент инерции и угловая скорость человека со стержнем, расположенным горизонтально; I ₂ и ω₂ – момент инерции и угловая скорость человека со стержнем, расположенным вертикально. Угловая скорость ω и число оборотов в единицу времени связаны соотношением

(2)

Момент инерции стержня I_c относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр масс, . Поэтому

(3)

При повороте стержня в вертикальное положение его момент инерции становится равным нулю. Следовательно, (4) Подставляя соотношения (2) – (4) в формулу (1), получим: . Отсюда для величины n ₂ следует:

об/с.

Работа A, совершенная человеком при повороте стержня, равна изменению кинетической энергии. Поэтому

Ответ: n ₂ = 1,2 об/с; A = 23 Дж.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.44. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n ₁ = 14 мин^-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до n ₂ = 25 мин^-1. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

(180 кг)

1.45. Человек массой m ₀ = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5,0 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы u₀ = 4,0 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

(0,49 об/мин)

1.46. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь шар в тот момент, когда он скатится с наклонной плоскости? Момент инерции шара J = 0,40 m × R ².

(3,6 м/c)

1.47. Два шара движутся навстречу друг другу вдоль оси Х. Масса первого шара m ₁ = 0,20 кг, масса второго шара m ₂ = 0,30 кг. До столкновения проекции скоростей шаров на ось = 1,0 м/с, = -1,0 м/с. Найти проекции скоростей шаров и после центрального абсолютного упругого соударения.

( = -1,4 м/c; = 0,60 м/c)

1.48. Тонкий однородный стержень длиной L может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему. Стержень отклонили на 90° от положения равновесия и отпустили. Определить скорость u нижнего конца стержня в момент прохождения равновесия.

(u = )

1.49. Тонкий однородный стержень длиной l и массой m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень устанавливают горизонтально и отпускают. Пренебрегая трением, определить угловую скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия. Построить график зависимости углового ускорения стержня от угла между стержнем и горизонтом.

(w = )

1.50. Сплошной однородный шар скатывается по наклонной плоскости длиной 5,0 м. Угол наклона плоскости к горизонту a = 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости, время движения шара до горизонтальной поверхности и качественно построить зависимость кинетической энергии шара как функцию времени. Потерями энергии пренебречь. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс, J ₀ = mR ².

(u = 5,9 м/с; t = 1,7 c)

1.51. Сплошной цилиндр катится по горизонтальной поверхности в течение времени t = 3,0 c и останавливается, пройдя расстояние 9,0 м. Определить коэффициент трения, считая его постоянным. Построить качественно зависимость кинетической энергии тела как функцию времени движения.

(m = 0,31)

1.52. Вал массой m = 50 кг и радиусом R = 5,0 см вращался с частотой n = 10 об/с. К его цилиндрической поверхности прижали тормозную колодку с силой F = 30 Н, и через 8,0 с после начала торможения вал остановился. Определить коэффициент трения, считая его постоянным. Построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения вала как функцию времени на интервале торможения.

(m = 0,33)

1.53. Шар и сплошной диск имеют одинаковые массы и катятся без проскальзывания по горизонтальной поверхности с одинаковыми постоянными скоростями. Кинетическая энергия шара W ₁ = 70 Дж. Определить кинетическую энергию диска W ₂. Найти отношение проекций момента импульса тел Lz ₁/ Lz ₂ на мгновенную ось вращения, если R ₁/ R ₂ = 0,7.

(W ₂ = 75 Дж; = 0,56)

1.54. Тело массой М подвешено на нити длиной l. В тело попадает пуля массой m и застревает в нем, нить после этого отклоняется на угол a. Найти скорость пули. Считать, что вся масса тела М сосредоточена на расстоянии l от точки подвеса.

(u = )

1.55. Сколько времени будет скатываться цилиндр с наклонной плоскости длиной l = 2,0 м и высотой h = 0,10 м, если считать, что проскальзывания нет? Качественно постройте зависимость кинетической W_k и потенциальной W_p энергии цилиндра как функцию времени.

(t = 3,5 c)

1.56. Два шара массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2,0 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол j = 60° и отпущен. Определить высоту, на которую поднимутся оба шара после удара. Удар шаров считать неупругим.

(h = 0,16 м)

1.57. В цилиндр массой m ₁ = 3,0 кг и радиусом R = 10 см, покоящийся на плоскости, попадает пуля массой m ₂ = 9,0 г, летящая со скоростью u₀ = 60 м/с. Пуля летит параллельно плоскости на высоте h = 0,12 м от нее и перпендикулярно образующей цилиндра. Считая удар абсолютно неупругим, найдите линейную скорость оси цилиндра, угловую скорость цилиндра. Проскальзыванием цилиндра пренебречь.

( рад/с; = 0,14 м/с)

 

u ₀

 

1.58. Тела с массами m ₁ и m ₂ связаны невесомой и нерастяжимой нитью, которая переброшена через блок массой m, установленный на краю стола. Тело m ₁ находится на поверхности стола в закрепленном состоянии. Тело m ₂ свободно висит. В момент времени t = 0 тело m ₁ освободили, и вся система пришла в движение. Считая коэффициент трения между столом и телом m ₁ равным m, пренебрегая скольжением нити по блоку и трением в оси блока, найти работу сил трения за первые t секунд после начала движения. Блок считать однородным диском.

()

1.59. Стальной шарик массой m = 8 г, летящий горизонтально со скоростью 600 м/с, попадает в брусок массой M = 4 m, прикрепленный к стенке пружиной с жесткостью k = 24 кН/м. Считая, что траектория шарика перпендикулярна поверхности бруска и совпадает с осью пружины, определить величину максимального сжатия пружины, если ударение было:

1) абсолютно неупругим; 2) абсолютно упругим.

Записать закон изменения деформации пружины как функцию от времени для случаев 1 и 2.

( = 15 см; = 28 см)

1.60. Поршень, закрепленный на пружине жесткостью k = 10 кН/м, после застревания в нем горизонтально летевшей со скоростью u = 520 м/с пули массой 20 г сместился на х = 8 см. Определить массу поршня М, если сила трения его о стенки цилиндра составляет 900 Н.

(M = 0,5 кг)

1.61. Нить с подвешенным на ней грузом отклонили на угол a и отпустили. На какой угол b отклонится нить с грузом, если при своем движении будет задержана штифтом, поставленным по вертикали посередине нити? Построить качественную зависимость скорости груза от времени, полагая, что потери энергии в системе не происходит.

()

1.62. Хоккейная шайба, имея начальную скорость u = 5,0 м/с, проходит до удара о борт площадки путь S = 10 м. Коэффициент трения шайбы о лед 0,10. Считая удар о борт абсолютно упругим и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, какой путь пройдет шайба после удара. Построить график зависимости u _x = f (x), полагая положительное направление оси ОХ к борту.

(S ₁ = 2,7 м)

1.63. Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой m ₁ = 2,0 кг со скоростью u = 8,0 м/с. Определить, какую работу А совершает при броске человек, если масса тележки с человеком m ₂ = 140 кг. Постройте график зависимости работы A = f (m ₂), если m ₂ – величина переменная.

(А = 63 Дж)

1.64. Гимнаст "крутит солнце" на перекладине. Считая, что вся масса гимнаста m сосредоточена в его центре масс и скорость гимнаста в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в низшей точке. Построить график зависимости вертикальной составляющей скорости гимнаста от времени u y = f (t). За начало отсчета принять верхнее положение гимнаста. Трением пренебречь.

(F = 5 mg)