Объём прямого цилиндрического тела.

Пусть F – плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей её плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины h (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело L, которое называется прямым цилиндрическим телом с основание F и высотой h. Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру F', конгруэнтную основанию F и параллельные ему.

В случае, когда F – прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же F – ступенчатая фигура, то L – ступенчатое тело, причём оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объём этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры F на высоту тела:

(1) V (L)=S (F) h.

Докажем, что формула (1) остаётся справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1: Если плоская фигура А квадрируема, то прямое цилиндрическое тело L с основание А кубируемо, причём его объём равен произведению площади фигуры А на высоту тела:

V (L) = S (А) h.

Доказательство:

Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры А является координатной плоскостью Оху. Так как по условию фигура А квадрируема, то для любого > 0 найдутся ступенчатые фигуры F₁ и F₂ такие, что F₁ А F₂, причём S (F₂) – S (F₁) < .

Построим ступенчатые тела L₁ и L₂ с высотой h и основаниями F₁ и F₂. Тогда имеем:

L₁ L L₂.

При этом

V (L₂) - V (L₁) = S (F₂) h – S (F₁) h = h (S (F₂) – S (F₁)) < h = .

Таким образом, для любого > 0 найдутся ступенчатые тела L₁ и L₂ такие, что

L₁ L L₂ и V (L₂) – V (L₁) < .

Поэтому тело L кубируемо. При этом, как мы видели,

S (F₁) h < V (L) < S (F₂) h.

С другой стороны, из неравенств S (F₁) < S (А) < S (F₂) вытекает, что

S (F₁) h < S (А) h < S (F₂) h.

Мы видим, что числа V (L) и S (А) h разделяют одни и те же множества, а именно

{ S (F₁) h } и { S (F₂) h },

где, напомним, F₁ – ступенчатые фигуры, содержащиеся в А, а F₂ – ступенчатые фигуры, содержащие А. Но эти два множества, в силу квадрируемости А, разделяются лишь одним числом. Поэтому

V (L) = S (А) h.

Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур А.