Достаточное условие спрямляемости прямой.
Назовем жорданову кривую Γ:
регулярной, если функции φ и ψ имеют на отрезке Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая Γ спрямляема. Доказательство. Разобьем отрезок
Но по теореме Лагранжа найдутся такие
и поэтому
 .
Значит, длина всей ломаной выражается формулой
По условию производные
Но тогда
а потому в силу (3)
Поскольку
Поэтому кривая Γ спрямляема. Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:
где α и β – наименьшие значения для Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой: (6) (7) Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что lкр
|
,
непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.
и впишем в кривую Γ ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено 
этой ломаной, 
, 
(рис. 49). Длина этого звена равна
.
и 
, что
,
. (3)
и 
непрерывны на отрезке 
и 
на отрезке 
, 
.
, 
,
.
, то для всех ломаных, вписанных в кривую Γ,
(4)
, (5)
,
.
lлом. Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства (4) 
является одной из верхних границ для длин вписанных в Г ломаных, число lкр – точная верхняя граница для этих длин, т.е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).
