площадь поверхности вращения.

Пусть даны прямая m и кривая Г, лежащая в одной плоскости с m и расположенная по одну сторону от этой прямой. При вращение кривой Г вокруг оси m получается поверхность , площадь которой мы хотим сначала определить, а потом вычислить.

Начнём со случая, когда Г – отрезок, один конец которого отстоит от m на r, а другой на R. (рис.58). Тогда, как доказывается в школьном курсе геометрии, площадь поверхности вращения (боковой поверхности усечённого конуса) выражается формулой

Р() = (r + R) l.

В этом случае при r R имеем:

(1) 2 r l Р() 2 R l

Таким образом, боковая поверхность конуса заключена между произведением длины образующей на длину наименьшей окружности и произведением длины образующей на длину наибольшей окружности.

То же самое неравенство будет иметь место и при вращении любой ломаной линии, расположенной по одну сторону от оси вращения:

(2) 2 r l Р() 2 R l,

где r и R – наименьшее и наибольшее расстояния точек ломаной от оси m, l – длина ломаной.

Для доказательства достаточно применить неравенство (1) к каждому звену ломаной, сложить полученные результаты и учесть, что l_k = l и для любого звена имеем r r_к, R_к R (здесь r_к и R_к – наименьшее и наибольшее расстояния точек к -го звена от оси вращения).

Естественно потребовать, чтобы неравенства (2) выполнялись для любой спрямляемой кривой. Кроме того, потребуем, чтобы площадь поверхности вращения обладала свойством аддитивности: при разбиении дуги Г на части ɣ₀, …, ɣ_n-1 должно выполняться равенство
(3) Р() =

где - поверхность, полученная при вращении всей дуги Г, а - при вращении части ɣ_к.

Если применить к каждой части неравенства (2), то получим, что
2 r_к l_к Р() 2 R_к l_к,

где l_к= l( ɣ_к) – длина дуги ɣ_к, а r_к и R_к – наименьшее и наибольшее расстояния точек этой дуги ɣ_к от оси вращения. Складывая эти неравенства и учитывая требование аддитивности, получаем, что

(4) 2 r_к l_к Р() 2 R_к l_к.

Иными словами, площадь поверхности вращения должна разделять множества

и .

Именно это требование мы и примем за определение площади поверхности вращения.

Если Г – плоская спрямляемая кривая, лежащая по одну сторону от оси m, то площадью поверхности , получаемой при вращении этой кривой вокруг оси m, называется число Р(), разделяющее эти множества и , соответствующие всевозможным разбиениям дуги Г. Здесь r_к, l_к , R_к имеют указанный выше смысл.

Докажем сейчас, что это число существует и единственно, а затем выведем для него выражение в виде интеграла. Выберем на плоскости систему координат, такую, что ось абсцисс совпадает с осью вращения. Зададим параметризацию кривой Г, выбрав в качестве параметра длину l дуги Ам, соединяющей в заданном направлении фиксированную точку А кривой Г с произвольной точкой М этой кривой (рис.59). Тогда r_к иR_к будут наименьшими и наибольшими значениями ординаты для точек части ɣ_к.

Поэтому суммы, стоящие в неравенствах (4) слева и справа, являются не чем иным, как суммами Дарбу для интеграла 2 (l) dl, где через L обозначена длина всей кривой Г. Поскольку функция y (l) непрерывна в силу непрерывности кривой Г, то существование и единственность числа, разделяющего эти суммы Дарбу, вытекают из теоремы существования интеграла от непрерывной функции. При этом мы доказали, что площадь поверхности вращения, т.е. число Р(), разделяющее эти суммы, равняется интегралу:

(5) Р() = 2 (l) dl.

Из формулы (5) получаются различные частные случаи в зависимости от того, как задана кривая Г. Если она задана параметрически:

t₀ t T,

и формула (5) принимает вид:

(6) Р() = 2

(когда l меняется от 0 до L, переменная t меняется от t₀ до Т).

В частности, если кривая Г задана явным уравнением y=f(x), а х в, то

(7) .

Если кривая Г задана в полярных координатах уравнением где Ф, а функция имеет непрерывную производную на [ ; Ф], то, учитывая, что , а = , получим:

(8) Р = 2 .

Пример 1. Найдём площадь поверхности шара радиуса R.

Решение. Поместим начало координат в центр шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности х²+у²=R² вокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдётся по формуле

Р = .

Так как - функция чётная, то

Р = .

Найдя и вычислив сумму

= ,

получим:

.