Вывод формулы длины дуги регулярной кривой.

Лемма. Пусть жорданова кривая регулярна и l (t) – длина дуги этой кривой, ограниченной точками М(а) и М(b). Тогда функция l (t) дифференцируема на отрезке[ a;b ], причём для всех t имеем:

(8) .

Доказательство. Возьмём любое t [a;b] и дадим t приращение такое, что t + [a;b]. Положим для определённости > 0. Соответствующее приращение функции l (t), т.е. l (t + ) - l (t), равно длине дуги кривой, ограниченной точками М(t) и М(t + ). В силу неравенств (6) и (7) п.2 имеем:

.

Перейдём к пределу при 0. В силу непрерывности функций и в точке t получаем, что

и

,

а потому

.

Лемма доказана.

Из этой леммы следует, что

(9)

Так как , , то формулу (9) можно переписать в виде

.

Геометрический смысл этой формулы ясен из рисунка 50, где - участок дуги, а - соответствующий отрезок касательной. Мы будем называть дифференциалом длины дуги кривой.

Теорема 2. Если жорданова кривая Г:

,

Регулярна, то его длина выражается формулой

(10)

Доказательство. Так как , то - первообразная для , а тогда равна разности значений первообразной, т.е.

l=l(a)-l(b)=

Теорема доказана.

Полученную формулу можно переписать в следующих видах:

(10')

(10'')

(10''')

Пример 1. Рассмотрим длину дуги астроиды ,

Решение. Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей, поэтому достаточно найти длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте ()

Найдём производные:

Вычислим сумму:

Учитывая сказанное выше, найдём четверть длины астроиды:

Длина всей кривой . Она мало отличается от , т.е. от длины окружности, описанной вокруг астроиды.

4. Частные случаи формулы длины кривой. Рассмотрим частные случаи общей формулы (10) п.3. Если кривая Г задана явным уравнением то её можно представить параметрическими уравнениями

В этом случае

(11) .

Полученную формулу записывают короче в виде

(11')

Значит,

(12)

Пример 2. Вычислим длину дуги цепной линии взятой от точки х=0 до точки х=1 (рис.51).

Найдём производную

Вычислим подкоренное выражение

Длина l указанного отрезка цепной линии будет

Рассмотрим теперь случай, когда кривая Г задана в полярных координатах уравнением , где причём функция на отрезке [ ] имеет непрерывную производную .

Так как декартовы координаты связаны с полярными координатами точек плоскости соотношениями , полярное уравнение данной кривой можно записать в виде параметрических уравнений:

, ;

отсюда находим:

,

Поэтому

.

В силу формулы (10) п.3 имеем:

(13)

Пример 3. Вычислим длину кардиоиды

Решение. Данная функция чётная, следовательно, кривая расположена симметрично относительно полярной оси (рис.52).

Поэтому сначала найдём половину длины дуги данной кривой, для которой полярный угол изменяется от 0 до 2 , после чего удвоим полученный результат:

.

Из формулы (13) получаем выражение дли дифферинциала дуги, заданной полярным уравнение

(14)

Геометрическую иллюстрацию даёт рисунок 53. На этом рисунке АС – дуга рассматриваемой кривой, АВ – дуга окружности с центром в точке О и радиусом , - длина дуги АВ. Заменяя , и соответственно , и ; рассматриваемый криволинейный треугольник АВС как прямоугольный с катетами и и гипотенузой . Тогда

5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой. Данное в п.2 условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома).Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим функцию y=f(x), определённую на отрезке [ a;b ], и произвольное разбиение Р этого отрезка:

Для каждого частичного промежутка разбиения Р образуем разность - приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим. Получим сумму

Полученная сумма называется изменением функции , соответствующим разбиению Р отрезка

Рассмотрим множество изменений функции , соответствующих всевозможным разбиениям отрезка Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция имеет ограниченное изменение на отрезке , а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции на отрезке и обозначают . Таким образом,

.

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.

Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая Г:

a t b.

была спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы непрерывные функции и имели ограниченное изменение на отрезке .

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функции и на отрезке является необходимым условием спрямляемости кривой Г. В самом деле, если кривая Г спрямляема, то множество длин вписанных в неё ломанных ограничено сверху некоторым числом М. Это означает, что для любой вписанной в Г ломанной имеем:

Но из рисунка 54 видно, что и , а потому и .

Эти неравенства можно переписать следующим образом:

и

.

Они показывают, что для любого разбиения Р отрезка имеем и , т.е. функции и имеют ограниченное изменение на отрезке .

Теперь докажем, что если функции и имеют ограниченное изменение на отрезке , то кривая Г спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число М, что

и

.

Иными словами,

и

.

Но из рисунка 54 видно, что

.

Поэтому для любой ломаной , вписанной в кривую Г, имеем:

,

и потому кривая Г спрямляема.