Вычисление объёмов тел.

1.Кубируемые тела. В этом параграфе рассмотрим вопрос о вычислении объёмов тел. Начнём с простейших тел – прямоугольных параллелепипедов.

Выберем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат O xyz. Пусть А – допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины рёбер которого равны а, в, с. Назовём число а в с объёмом этого параллелепипеда и обозначим его V(А), V(А) = а в с. Очевидно, что если параллелепипед А разделён плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды В и С, то выполняется равенство

V(А) = V(В) + V(С).

Далее, если параллелепипед А' получается из параллелепипеда А параллельным переносом, то V(А') = V(А). Наконец, объём куба с длиной ребра 1 равен 1.

Мы хотим распространить понятие объёма на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовём ступенчатым любое тело L, которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.

Пусть L = F_j – разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что

V(L) = V (F_j).

Это определение не зависит от того, каким способом тело L разложено на параллелепипеды.

Возьмём теперь любое тело Т. Обозначим через Х_Т числовое множество, состоящее из объёмов ступенчатых тел, целиком содержащихся в Т, а через У_Т – множество объёмов ступенчатых тел, содержащих Т:

Х_Т = { V внутренних ступенчатых тел },

У_Т = { V внешних ступенчатых тел }.

Тогда числовое множество Х_Т лежит левее числового множества У_Т. В самом деле, если х Х_Т и у У_Т, то х = V(L₁), у = V(L₂), где L₁ Т L₂. Так как ступенчатое тело L₁ – часть ступенчатого тела L₂, то V(L₁) V(L₂), а это и значит, что х у.

Поскольку Х_Т лежит левее У_Т, то найдётся хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если Х_Т и У_Т разделяются лишь одним числом, то тело Т называют кубируемым, а число, разделяющее множества Х_Т и У_Т – объёмом этого тела. Его обозначают V(Т).

Итак, объёмом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество ступенчатых тел, содержащихся в Т, и множество объёмов ступенчатых тел, содержащих Т.

Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получим следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:

Для того, чтобы тело т было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 нашлись ступенчатые тела L₁ и L₂ такие, что L₁ Т L₂ и V(L₁) – V(L₂) < .

Объём тел обладает свойством аддитивности:

Если Т1 и Т2 – кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение Т = Т₁ Т₂ также кубируемо, причём выполняется равенство

V(Т) = V(Т₁) + V(Т₂).

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела Т называется всякая точка, которая принадлежит телу Т вместе с некоторой своей окрестностью (т.е. открытым шаром с центром данной точке).

Далее очевидно, что если тело Т кубируемо, а тело Т₁ получается из Т параллельным переносом, то тело Т₁ также кубируемо, причём V(Т) = V(Т₁). Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело Т₁ конгруэнтно кубируемому телу Т, то Т₁ кубируемо и V(Т) = V(Т₁).

Понятие объёма можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°–4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условия нормировки.

Мы будем использовать в дальнейшем достаточное условие кубируемости тела.

Если для любого > 0 найдутся такие кубируемые тела Т₁ и Т₂, что Т₁ Т Т₂, причём V (T₂) – V (T₁) < , то тело Т кубируемо.