Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений.

В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объём тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.

Определение. Тело Т назовём регулярным, если существует такая плоскость П, что

а) тело Т лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела Т плоскостями, параллельными плоскости П, квадрируемы;

в) площадь S (x) сечения Q (x), параллельного плоскости П и отстоящего от неё на расстояние х, является непрерывной функцией от х;

г) если S (х₁) и S (х₂), то проекция сечения Q (x₂) на плоскость П содержит проекцию сечения Q (x₁) на ту же плоскость.

Теорема 2. Если тело Т регулярно, то оно кубируемо, причём его объём выражается формулой

(2) V (T) = S (x) dx.

Здесь S (x) – площадь сечения тела т плоскостью, параллельной плоскости П и отстоящей от неё на расстояние х, а – наименьшее из расстояний точек тела Т от плоскости П, в – наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где а = 0).

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка [ а; в ]:

а = х ₀ < х ₁ < х ₂ < … < х _n < = b и на расстояниях х ₀, х ₁, х ₂ , …, х _n проведём плоскости, параллельные плоскости П. Данное тело Т этими плоскостями разобьётся на частичные «ломтики» Т₀, Т₁, …, Т_n-1.

Рассмотрим к -ый частичный «ломтик». Его высота равна х_к = х_к+1 – х_к. Так как функция у = S (x) непрерывна на [ х_к; х_к+1 ], то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади сечения для этого «ломтика» обозначим s _к и S _к. В силу условия г) регулярности тела Т цилиндрическое тело с основанием s _к лежит внутри частичного «ломтика», а цилиндрическое тело с основанием S _к целиком его содержит. Объём V_к внутреннего цилиндрического тела будет

V_к = s _к х_к.

Объём V_к внешнего цилиндрического тела будет

V_к = S _к х_к.

Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела L₁ и L₂ такие, что L₁ L L₂ . Объём тела L₁ будет равен

s _к х_к,

а объём тела L₂ равен

S _к х_к.

Но s _к х_к и S _к х_к являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла S(x) dx. Поэтому для любого > 0 найдётся такое разбиение отрезка [ а; в ], что

S _к х_к – s _к х_к < ,

т.е.

V (L₂) - V (L₁) < .

Отсюда следует, что тело Т кубируемо. При этом объём тела V (T) удовлетворяет неравенствам

s _к х_к V (T) S _к х_к.

Но с другой стороны,

s _к х_к S (x) dx S _к х_к.

Значит, числа V (T) и S (x) dx разделяют одни и те же числовые множества

{ s _к х_к } и { S _к х_к }.

Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то V (T) = S (x) dx, что и требовалось доказать.

Пример 1. Вычислить объём пирамиды, площадь основания которой равна S, а высота H (рис.43).

Решение. Так как , то S(x) =

Следовательно,

V =

Пример 2. Вычислим объём шарового слоя, отсеченного от шара х ² + у ² + z ² = 9 плоскостями х = 1 и х = 2.

Решение.

Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке х, пересекает шар по кругу радиуса r = . Площадь сечения S (х) = r² = (9 - х ² )

и, следовательно

V = (9 - х ² ) dx = (9 х – ) = 6 .

4. Принцип Кавальери. Из формулы (2) п.3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.

Два кубируемых тела Т₁ и Т₂ (рис.44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равнее объёмы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведённые на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.

Доказательство. Обозначим через V₁ объём тела Т₁, а через V₂ – объём тела Т₂. Так как тела Т₁ и Т₂ кубируемы, то

V₁ (T₁) = S₁ (x) dx, V₂ (T₂) = S₂ (x) dx.

По условию, S₁ (x) = S₂ (x), значит, и V_{1 =} V₂.

Пример 3. Покажем, что объём полушара радиуса R равен разности объёмов цилиндра, радиус основания и высота которого равны R, и конуса с радиусом основания R (рис.45).

Рассмотрим полушар. Обозначим через S₁ (x) площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии х. Учитывая, что r²= R ² – х ², найдём S₁ (х) = r² = (R ² - х ² ).

Обозначим через S₂ (x) площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии х: S₂ (х) = R ² - ² = (R ² - ² ).

Из подобия треугольников ОАВ и ОСD имеем: = или = , откуда = х. Следовательно, S₂ (х) = (R ² - х ² ), а потому S₁ (х) = S₂ (х) и согласно принципу Кавальери объёмы рассматриваемых тел равны.

5. Объём тела вращения. Пусть Т – тело вращения, образованное вращение вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми х = а, х = в и графиком непрерывной функции у = f (x).

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объём выражается формулой

(3) V = f ² (x) dx = y ² dx.

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве П выберем плоскость О уz, перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии х от плоскости О уz, является кругом радиуса f (x) и его площадь S (х) равна f ² (x) (рис.46)

Поэтому функция S (х) непрерывна в силу непрерывности f (x). Далее, если S (х₁) S (х₂), то значит, что f (х₁) f (х₂). Но проекциями сечений на плоскость О уz являются круги радиусов f (х₁) и f (х₂) с центром О, и из f (х₁) f (х₂). Вытекает, что круг радиуса f (х₁) содержится в круге радиуса f (х₂).

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объём вычисляется по формуле

V = S₁ (x) dx = f ² (x) dx.

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми у₁ = f (x₁) и у₂ = f (x₂), то

V = y dx – y dx = [ (f ₂ (x))² – (f ₁ (x))²] dx.

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объёма тела вращения в случае и для вычисления объёма тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определённого интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдём объём тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдём объём, получаемый при вращении прямоугольника с высотой у_{к ,} в основании которого лежит отрезок [ х_к; х_к+1 ]. Этот объём равен разности объёмов двух прямых круговых цилиндров

V_k = y_k x – y_k x = y_{k (} x _k+1 + x _k) (x _k+1 – x _k).

Но теперь ясно, что искомый объём оценивается сверху и снизу следующим образом:

m _к x _k х_к V M _к x _k+1 х_к.

Отсюда легко следует, что

(4) V = 2 хуdх.

Пример 4. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса R с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси О х, образует шар.

Уравнение окружности имеет вид х ² + у ² = R, поэтому у ² = R - х ². Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдём сначала половину искомого объёма

V_ш = у² dх = (R – х ²) dх = (R² x – ) = (R³ – ) = R³ .

Пример 5. вычислим объём конуса, высота которого h и радиус основания r.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось О х совпала с высотой h (рис.47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой ОА запишется в виде у = .

Пользуясь формулой (3), получим:

V =

Пример 6. Найдём объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды х = a cos³t, y = a sin³t. (рис.48).

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определённого интеграла, найдём для новой переменной t пределы интегрирования.

Если х = a cos³t = 0, то t = , а если х = a cos³t = а, то t = 0.

Учитывая, что y² = a² sin⁶t, dx = - 3a cos²t sint dt, получаем:

V = у² dх = ( – 3a cos²t sint) a² sin⁶t dt = 3 a³ sin⁶t cos²t sint dt = 3 a³ ( sin⁷t dt – sin⁹t dt).

Применяя реккурентную формулу, получаем, что

V = 3 a³ () = 3 a³ (9 – 8) = 3 a³ = a³.

Объём всего тела вращения будет a³.

Пример 7. Найдём объём тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды x = a (t – sint), y = a(1 – cost).

Решение. Воспользуемся формулой (4):

V = 2 хуdх.

И заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной t от 0 до 2 . Таким образом,

V = 2 a (t – sint) a (1– cost) a (1– cost) dt = 2 a³ (t – sint) (1– cost)²dt = 2 a³ (t – sint – 2t cost + 2sint cost + t cos²t – sint cos²t) dt = 2 a³ (t²/2 + cost – 2t sint – 2cost + sin²t + t²/4 + t/4(sin2t) +1/8 (cos2t) + 1/3 (cos³t)) = 2 a³(2 ² + 1 – 2 + ² + 1/8 +1/3 – 1 + 2 - 1/3 – 1/8) = 6 ³ a³.