Решение задачи 1.3

Максимизировать целевую функцию:

Y=-4x₁-x₂+3x₃-2x₄ → max

При ограничениях:

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ ≥ 3

-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄ ≤ -9

-x₁-x₂+x₃+2x₄ ≤ -5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ ≥ 2

x_1,2,3,4 ≥ 0

 

Нужно привести систему ограничений к каноническому виду. Для этого следует добавить дополнительные переменные x₅, x₆, x₇ и x₈.

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ -1x₅+0x₆+0x₇+0x₈=3

2x₁+0x₂+0x₃-2x₄ +0x₅-1x₆+0x₇+0x₈=9

x₁+x₂-x₃-2x₄ +0x₅+0x₆-1x₇+0x₈=5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ +0x₅+0x₆+0x₇-1x₈=2

Выразим допустимый базис в форме Таккера:

X₅=-3-(-1x₁-2x₂+0x₃+0x₄)

X₆=-9-(-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄)

X₇=-5-(-x₁-x₂+x₃+2x₄)

X₈=-2-(-x₁+0x₂+2x₃-x₄)

Целевая функция в форме Таккера:

Y=0-(4x₁+x₂-3x₃+2x₄)

На основании целевой функции и полученных ограничений можно составить симплекс-таблицу (Таблица 1.10).

Таблица 1.10

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	-3	-1	-2
X6	-9	-2
X7	-5	-1	-1
X8	-2	-1			-1
Y				-3

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X1, выводим из базиса X6. Результат отображен в таблице 1.11.

Таблица 1.11

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	3/2		-2		-1		-1/2
X1	9/2				-1		-1/2
X7	-1/2		-1				-1/2
X8	5/2				-2		-1/2
Y	-18			-3

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X2, выводим из базиса X7. Результат отображен в таблице 1.12.

Таблица 1.12

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	5/2			-2	-3		1/2	-2
X1	9/2				-1		-1/2
X2	1/2			-1	-1		1/2	-1
X8	5/2				-2		-1/2
Y	-37/2			-2			3/2

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем обычный симплекс-метод. Вводим в базис X3, выводим из базиса X8. Результат отображен в таблице 1.13.

Таблица 1.13

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5					-5			-2
X1	9/2				-1		-1/2
X2	7/4				-2		1/4	-1	1/2
X3	5/4				-1		-1/4		1/2
Y	-16

В столбце свободных членов и в строке коэффициентов отсутствуют отрицательные элементы, а следовательно, полученный план оптимален. Произведём проверку, подставив полученные значения для переменных в начальные условия и убедившись в их верности, выписываем ответ.

 

Ответ: Решение оптимально

Y=-16

X=(9/2;7/4;5/4;0;5;0;0;0)

Количество итераций=3