Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несов­местных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. А — появление четырех очков при бросании играль­ной кости; В — появление четного числа очков. События А и В — совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны веро­ятности этих событий и вероятность их совместного по­явления. Как найти вероятность события А + В, состоя­щего в том, что ^появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероят­ностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р {В) — Р {АВ).

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Р(Л +В) = Р(ЛВ) + Р(ЛВ) + Р(Л5). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(А)=Р(АВ) + Р(АВ).

Отсюда

Р(АВ)^Р(А) — Р (АВ). (**)