Теорема сложения вероятностей совместных событий
Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Пример 1. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В — появление четного числа очков. События А и В — совместные. Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что ^появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р (А + В) = Р (А) + Р {В) — Р {АВ). Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий, Р(Л +В) = Р(ЛВ) + Р(ЛВ) + Р(Л5). (*) Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А)=Р(АВ) + Р(АВ). Отсюда Р(АВ)^Р(А) — Р (АВ). (**)
|
