Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность

РЛ (Я) = 7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р {А) Р_А (В) =(3/10) -(7/9) = 7/30.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Pj(i4) = 3/9, Р (В)Рв (А) —7/30, что наглядно иллюстрирует спра­ведливость равенства (***).

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не воз­вращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испы­тании появится белый шар (событие А), при втором — черный (собы­тие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р (Л) =5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

Р А (В) = 4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вы­численная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

Р АВ(С) =3/10.

Искомая вероятность Р (АВС) = Р (А) 1*>_л (В) Р_АВ (С) = (5/12) (4/11)-(3/Ю) = 1/22.

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от по­явления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В)^Р(В). (*)

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего па­раграфа, получим

Р(А)Р(В) = Р(В) Р_в (А).

Отсюда

Р_В{А) = Р{А),

т. е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероят­ности. Другими словами, событие А не зависит от со­бытия В.

Итак, если событие В не зависит от события Л, то и событие А не зависит от события В\ это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) Р_А (В) имеет вид

Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В), (**)