Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А—попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то Л + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В — несовместные, то А-\-В—событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих собы- Т 1 Й. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А я С, В и С, А и В я С. Пусть события А и В—несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найтн вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Доказательство. Введем обозначения: п—общее число возможных элементарных исходов испытания; т^ — число исходов, благоприятствующих.событию А; тг — число исходов, благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно mt + ma. Следовательно, Р (А + В) = (т, + тЛ)/п = mjti + mjn. Приняв во внимание, что mjn = Р (А) и mjn — Р (В), окончательно получим Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р + Aa+... + АЛ) = Р (Л4) + Р (А,) + — -4-Р (Ат). Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несов> местны, то появление одного нз трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного нз двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы Р(А + В + 0=Р[(А + В) + С\ = Р{А + В) + Р(С) = = Р(А) + Р(В) + Р(С). Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции. Пример I. В урне 30 шаров: 10 красных, S снинх я 15 белых. Найти вероятность появления цветного тара. Решение. Появление цветного шара означает появление либо краевого, либо синего шара.
|
