Теорема умножения вероятностей
Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р (А) и Ра (В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится н событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А)РЛ(В). Доказательство. По определению условной вероятности, РЛ(В)^Р(АВ)/Р(А). Отсюда Р(АВ) = Р{А)Ра{В). <•) Замечание. Применив формулу (*) к событию В А, получим Р(ВА)=Р(В) Ра (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, Р(АВ)=Р(В)Рв(А). (**) Сравнивая формулы (*) и (**)> заключаем о справедливости равенства Р(А)Ра(В)=Р(В)Рв(А). (***) Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р (Л^И*...Ап) = Р (Лг) PAt (Л,) PAlAt (Л,)... • • ■ PAiA,.. ■AJt_l (^в)>; где PAtA,...ап_х{Ап) — вероятность события Л„, вычисленная в предположении, что события Аг, At,...,Ап^1 наступили. В частности, для трех событий Р{АВС) = Р(А)РЛ (В) РАВ (С). Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д. Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков—конусный, а второй — эллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), Р(А) = 3/10.
|
