Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий А_г, А₂,..., А_п, образующих полную группу, равна единице:

Я(Л₁) + Я(Л_>) +...+Р(Л„)=1.

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность досто­верного события равна единице, то

Р(Л₁ + Л₁+...+Л_я)=1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р (Л_х + А_г +... + А_п) = Р (Л_х) + Р (Л₂) +... -\-Р (Л„). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р(Л₁) + РИ,)+...+Р(Л„) = 1.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность полу­чения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти веро­ ятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События «пакет получен из города у 4», «пакет получен из города В», «пакет получен нз города С» образуют полную группу,

Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице;

7 -f- 0,2-f- р == 1.

Отсюда искомая вероятность

р-= 1 — 0,9 = 0,1.

Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А.

Пример I. Попадание и промах при выстреле по цели — противо­положные события. Если А — попадание, то А — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противо­положные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице'.

Р(Л) + Р(Л) = 1.

Доказат ельство. Противоположные события об­разуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. § 2).

Замечание 1. Если вероятность одного из двух противопо­ложных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким сибраэом, в силу предыдущей теоремы

р +?= 1.

Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, р— 0,7. Найти вероятность того, что деиь будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «деиь ясный» — про­тивоположные, поэтому искомая вероятность

4=1—р = 1— 0,7 = 0.3.

Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события А, а затем найти искомую вероятность по формуле

Р(А)=1— Р(А).

Пример 4. В ящике имеется п деталей, из которых т стандарт­ных. Найти вероятность того, что среди к наудачу извлеченных дета­ лей мть хотя бы одна стандартная.

Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стан­дартной» *— противоположные. Обозначим первое событие через А, ш второе'-через А,