Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попа­дания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок I составляет часть отрезка L. На отре­зок L наудачу поставлена точка. Это означает выполне­ние следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок I пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относи­тельно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок I определяется равенством

Р = Длина //Длина L.

Пример 1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший нз отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от­резка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок О А точками С и D иа 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В (х) попа­дет на отрезок CD длины L/3. Искрмая вероятность

P — (L/3)/L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошен­ная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Р = Площадь g/Площадь G.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окруж­ности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероят­ность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g)

S_g = n(Ю² —5*) = 75я.

Площадь большого круга (фигуры (?)

So = «10²= 100я.