Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно,

Р(А) = т/п — О /п = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < т < п, значит, 0<т/я<1, следовательно,

0 <Р(А)< 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двой­ному неравенству

0< Р(Л)< 1.

Замечание. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложе­нием на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий со,- (<=1, 2, п). События со,- называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элемен­тарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Q, а сами элементарные собы* тия — точками пространства Q.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А\ событие В есть подмножество Я, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, н т. д. Таким образом, множество всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Я. Само Q наступает при любом исходе испытания, поэтому Q — достоверное событие; пустое подмножество пространства Q — невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).