Классическое определение вероятности
Вероятность—одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения. Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1—белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. 18 Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятйй наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из уриы) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через a>lt а>г, й>8 и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: ю1 — появился белый шар; «>,, <о8 — появился красный шар; <о4, (о5, <ов—появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующи-ми этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: Ю|, (Og, (04, fi)j, (Од. Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А\ в нашем примере А наблюдается, если наступит <ot, или со,, или w4, или w5, или юа. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (юа, «>„ ю4, ©s, ю0); элементарное же событие не подразделяется иа другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом). Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к нх общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р{А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (,4) — 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (Л) — т/п, где т — число элементарных исходов, благоприятствующих А; п — число scex возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
|
