Приклади. Приклад 1. Розв'язати нерівність: 0,41о§2 х+1 < 6,252-1о§2 х'.

Приклад 1. Розв'язати нерівність: 0,4^{1о§2 х}+¹ < 6,25^{2-1о§2 х}'.

 

	і 6,25 =	f 51		f 21
		=
	V 2 у		v 5,

-2

, зведемо обидві час­

f 0 \log2 x+1 / 0 ^-4+2-log2 x3 <

тини нерівності до однієї основи:

V 5 у

V 5 у

 

Оскільки основа ступеня 0 < — < 1, то при переході до нерівності, що має

показники ступеня, знак нерівності змінюється: l_og2 _X +1 > 2l_og2 _X³ _- 4.

Функція log₂ x визначена при x > 0, тому, за властивістю логарифму

k 3

log _ax = k ■ log _ax, маємо: 2log₂ x = 6log₂ x.

Перенесемо всі доданки з правої частини рівняння в ліву. Одержимо не­рівність: log2 x - 6log₂ x + 5 > 0.

Робимо заміну У = Іо§₂ х, приходимо до нерівності: " 3 ±>/9-5 = 3 ± 2.

Методом інтервалів знаходимо змінну у:

У < 1 і У > 5.

Таким чином, вихідна нерівність, з урахуванням ОДЗ, рівносильна су­купності нерівностей:

Іо§2 х < 1

У2 - 6 У + 5 > 0

У1,2

Рис. 1.19. Розв'язування нерівності методом інтервалів

Іо§2 х > 5

х > 25

0 < х < 2

Оскільки основа логарифма більше одиниці, то: Відповідь: (0;2)и(32;

 

Приклад 2. Знайти область визначення функції: У = УІ 1 - іо_& ((- 4х + 3). А Оскільки логарифмічна функція визначена тільки для додатних чисел, а квадратний корінь - для невід'ємних чисел, то дана задача зводиться до розв'язку системи нерівностей:

х² - 4х + 3 > 0, 1 -Іо§₈(х² -4х + 3)>0.

Ліву частину першої нерівності розкладемо на множники 1₂ = 2 ± V 4 - 3 = 2 ± 1, а в другій нерівності замінимо 1 на Іо§₈ 8:

(х - 3)(х -1)> 0, 1о§8 (х² - 4х + 3)< ^8.

Оскільки основа логарифма 8 > 1, то, відповідно до властивостей лога­рифма, переходимо до системи:

'(х - ³)(х -¹)> 0 _або |(х - ³)(х -¹)> ^0, х² - 4х + 3 < 8. І х² - 4х - 5 < 0. Ліву частину другої нерівності розкладемо на множники:

х

3,4

Рис. 1.20. Розв'язок нерівності ме­тодом інтервалів

(х - 3)(х -1)> 0,

= 2 ±7 4 + 5 = 2 ± 3

(х - 5)(х +1)< 0.

Остання система рівносильна нерів­ності: (х - 3)(х - 1)(х - 5)(х +1)< 0,

(при х Ф 3 і х Ф1).

Методом інтервалів одержуємо: [-1;1)и(3;5 ].

х

Відповідь: [-1;1)и(3;5 ].►

Приклад 3. Розв'язати нерівність:

 

log27 J2,5 -6 - log6 325 + 0,6 < 0

 

Л Знайдемо ОДЗ:

2,5 - ^x > 0 ^б ^

15 - x > 0 x +15 > 0

x < 15 x >-15

— + 0,6 > 0 25

 

За властивістю логарифму log _mb = — • log b = log tfb; log tfb = log _mb.

m

 

x 2 5 - x 6 У

V

Маємо: log₂7 ^2,5 - 6 = log₃3 22,5 - 6 = log₃6

 

^log⁹ І25+⁰'⁶=^log₃² 325+⁰'⁶=^log₃⁶

— + 0,6 25

У

Тоді вихідну нерівність можна переписати у вигляді:

 

2 5 - x' 2,5 б у

log!

V

< log* ^ + 0,6

³³⁶ 25

 

що еквівалентно (у силу парності показника ступеня) нерівності:

 

x 2 5 - x 2,5 б

log

<

V

x

^log36 V 2?+°,⁶

 

Остання нерівність, за властивостями модуля, еквівалентна об'єднанню чотирьох систем нерівностей.

Потенціюємо, враховуючи, що 3⁶ > 1.

 

x

^log6 ^2,5 -­6

V

x

log,б — + 0,6

У

f—+0,6Л 25

у x < 9 x > 10

15 - x > б x +15 > 25 ^ 375 - 25x < б x + 90

x > 285

Рис. 1.21. Область дозволених зна­чень у першому випадку

V

/

x

^log₃6 ^{2,5 -}т < ^log₃6

> 0 > 0

У

1)

'3° 25

³ V ⁶ у ³

2,5 - ^x > 1 б

— + 0,6 > 1 25

Цей випадок неможливий, оскіль­ки ОДЗ повинна бути безперервною.

_ _ x _ x _Л, 2,5 — < — + 0,6 б 25

^ґ _х^л 2,5 - -

іоб

іоб

< 0 < 0

з

V

+ 0,6Л

3 V -

у

ґ х л — + 0,6 25

V 6 у

у

V

- іое 2,5 <- іо§

х

2,5 — < 1 6

— + 0,6 < 1 25

2,5 - ^х > — + 0,6 6 25

 

^;5/ ^ 9 2 /31

Розв'язком другої системи буде

15 - х < 6 х+15<25 375 - 25х > 6 х + 90 Рис. 1.22. Область дозволених зна­чень у другому випадку

х > 9 х < 10 < 2%

285,

х

х 9;²⁸53і

х

х 2,5 — < 1 6

^ 2,5-6 6

< 0

 

х 25

3)

+ 0,6 > 1

> 0

V

у

х

іое_л — + 0,6

-іое Г2,5 -х1 <іое + 0,6

25 - х 2,5 6

х — + 0,6 25

> 1

у V

У

V

V

у

у

 

х > 9 х > 10: х2 - 75 < 0

0,6 х

х

1 > 0

15 - х < 6 х +15 > 25

2,5 х 3

х > 9 х > 10

(х - 5>/3)(х + 5>/3)< 0

 

Рис. 1.23. Область дозволених зна­чень у третьому випадку

573 - 8,67. Розв'язків немає.

2,з - x > 1 6 — + 0,6 < 1 2з

!°g,6 ~~ 6

x

lo^ [2? + 0,6

< 0

2 з - x 2p 6

x 2 з - x лз 6

x — + 0,6 v 2з

+ 0,6 v 2з

< 1

^з6

<- ^6

v

j

j

v

із - x > 6 x + із < 2з

x < 9 x < 10: x2 - 7з > 0

x < 9 x < 10

2,з x з

0,6 x

x

1 < 0

+

Рис. 1.24. Область дозволених зна­чень у четвертому випадку

2з 2 із0

(x - зТз)(x + зТз)> 0

Розв'язком четвертої системи буде х-5л/3] u[^л/3; 9.

 

Поєднуючи всі розв'язки, з урахуванням ОДЗ, одержуємо відповідь:

-із;J u зл/з;²^

31.

Приклад 4. Розв'язати нерівність log_2-x (х + 2)• log_х+₃ (3 - х)< 0. А Основна ідея розв'язування подібних нерівностей:

(^l0g a^U (^Х)^{- l0}g a^V (^Х))• Р (^Х)< ⁰ ^

\u (х)-v (х))• p (х)< 0 u (х)> 0.

v (х)> 0

- перехід до основи а > 1;

- заміна різниці логарифмів різницею відповідних функцій при природ­них обмеженнях на кожну з них;

- якщо ліва частина нерівності містить у якості співмножника будь-який логарифм (а не різницю двох логарифмів), то для того, щоб застосувати пропо­новане перетворення, необхідно представити цей логарифм у вигляді різниці, віднявши від нього нуль, записаний як логарифм одиниці при тій же основі.

^l0g2-х (х + ²)• ^l0gх+3 (³ - х)< ⁰ ^

x <

Переходимо до основи a = 2. ^log2 (^х + ²) ^ ^log2 (^{3 - х}) < ₀ ^ ^log2 (^х + ²)^{- lo}g2¹ ^ ^l0g2 (^{3 - х})^{- l0}g2¹ <₀ log2 (2-х) log2 (х + 3) log2 (2-х)-log21 log2 (х + 3)- log2 1

Застосовуємо нрононоване неретворення: ' (X + ²)-¹ (³ - x)-¹ < ₀ Г(+]) (-х) < ₀ (2-x)-1 (x + 3)-1 (1 -x) (x + 2)

x + 2 > 0 ^ x >-2

3 - x > 0 x < 3

Остання система легко вирішується методом інтервалів.

З

Щ^І ^г Відповідь:

jcg(-2;-1]U(1;2]> Рис. 1.25. Розв'язок нерівності методом інтер­валів

Для обчислення натурального логарифма в Maxima використовується функція log. Maxima не має убудованої функції для десятичного логарифма або для інших нідстав. Для нереходу від однієї нідстави логарифма до нідстави

натурального логарифма використовуємо формулу logbX = ^{l0g aX} =. А для

^log a^{b ln b}

об'єднання логарифмів за формулами log_ax^k = к • log_ax і log_axy = log_ax + log_ay використовується вбудована функція logcontract.

l.S. Індивідуальне завдання № 1.4

Студент новинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі груни.

Розв'язати нерівність:

1. log₂x + log₂(x +1)<log₂(2x + б); 2. log₃(x² -5x + б)<0;

3. log у (log4 (x x - 5)) > 0; 4. log_x — > 1;

^{/3 X}x +1

сі 4 х + 5 5. ^log ¹;

ши шукані величини через відомі величини і введені змінні.

Друга трудність - складання рівнянь і нерівностей, що пов'язують дані величини і змінні.

Третя трудність - розв'язування отриманої системи рівнянь або нерівно­стей бажано найбільш раціональним способом.

Скласти рівняння - виразити в математичній формі зв'язок між даними (відомими) і шуканими (невідомими) величинами. Іноді цей зв'язок настільки явно випливає з формулювання завдання, що складання рівняння є просто до­слівним переказом завдання мовою математичних знаків.

Частіше, однак, трапляється, що зв'язок між даними і шуканими величи­нами не вказується в завданні прямо; його потрібно встановити, виходячи з умов завдання. У практичних задачах так буває майже завжди. Тому для скла­дання рівняння не можна дати цілком вичерпних вказівок.

Таким чином, для розв' язування текстового завдання ми перекладаємо його на математичну мову, тобто створюємо математичну модель. Оволодіння навичками математичного моделювання - це найважливіше, що необхідно для складання рівнянь. Адже, як узагалі відбувається переклад з однієї мови на ін­шу? Ви читаєте текст і відразу викладаєте його іншою мовою. Саме так пере­кладає досвідчений фахівець легкі текстові завдання на мову математики. Він відразу бачить що саме прийняти за невідомі величини, яким буде рівняння.

Якщо ж зустрілося нелегке завдання, то для перекладу на математичну мову потрібно користуватися наступним. Приймемо за значення шуканої вели­чини (або декількох величин) деяке навмання взяте число (або кілька чисел) і поставимо собі завдання перевірити, чи угадали ми правильний розв'язок за­вдання чи ні. Якщо ми зуміли провести цю перевірку і знайти, що наша здогад­ка вірна, або невірна, то ми негайно можемо скласти потрібне рівняння (кілька рівнянь). Отже, запишемо ті самі дії, що ми робили для перевірки, тільки за­мість навмання взятого числа введемо літеру для невідомої величини. Ми оде­ржимо необхідне рівняння.

Перевірку навмання узятого розв'язку можна робити різними способа­ми; відповідно до цього можна одержати для одного й того ж завдання різні ви­ди рівняння; всі вони, однак, дадуть для шуканої величини той самий розв'язок; такі рівняння називаються рівносильними одне до одного.

Зрозуміло, що після одержання навичок у складанні рівнянь немає по­треби робити перевірку навмання взятого числа: можна для визначення шука­ної величини брати не число, а деяку літеру (х, у тощо) і поводитись так, ніби ця літера (невідома) була тим числом, яке ми збираємося перевірити.