Приклади. Приклад 1. Знайти елементи с12, с23 і с21 матриці С, якщо: Г1 Г 2 -21 А = -1

Приклад 1. Знайти елементи с12, с23 і с21 матриці С, якщо:   Г1       Г 2   -21 А =   -1   , В =   -1     Ч2   -2 У   Ч1   1У

< с12 = 0-2 + 3 = 1, с23 = 0 + 0 +1 = 1, с21 = 0-3 +1 = -2>

 

Ґ1 2Л 2 1 2 2

4 5 7 9)'

3 1 1

Приклад 2. Знайти добуток матриць: '2 1 0

2 + 2 4 +1 3 + 2 + 2 6 +1 + 2

Приклад 3. Знайти добуток матриць: '2 3^Л

< (-1 -2 1)

1 1 2 -2 ^ У

(-2 - 2 + 2 -3 - 2 - 2) = (-2 -7).►

 

Приклад 4. Знайти добуток матриць:

(__3)-(1 2) - неможливо знайти розв'язок, тому що довжина першої матриці дорівнює двом елементам, а висота другої - одному. ►

Приклад 5. Знайти АВ і ВА, якщо А = (-(2¹), В = (^):

^АВ = (0 2). ВЛ = (2 -\)>

Приклад 6. Знайти АВ і ВА, якщо А = ((), В = ().

А АВ = (_³), В-А - не має змісту. ►

Приклад 5. Підприємство військово-промислового комплексу випускає продукцію чотирьох видів, при цьому використовує на виготовлення продукції ресурси трьох типів, як показано в таблиці 2.2. Визначити річні потреби під­приємства в ресурсах, при відомому випуску продукції.

Таблиця 2.2

Використання ресурсів підприємства на одиницю продукції Ресурс Прод.1 Прод.2 Прод.3 Прод.4 Працевитрати, чол./годин         Сировина, тн. 7В 5б     Фінанси, тис. грн.         Кількість продукції, виготовленої за рік, шт.     1б     А Складемо матрицю використання ресурсів на виготовлення одиниці '10 10 12 14Л

 

78 5б 44 14 42 80 10 53

25 1б 45 ч18 у

продукції № 1, 2, 3, 4: A =

Матриця випуску продукції буде: B

 

Річну потребу в ресурсах для виготовлення відомої кількості чотирьох видів продукції знайдемо як добуток матриць A-B.

Розв'яжемо поставлену задачу з використанням програми Maxima. Для обчислення добутку двох матриць використовується символ «.», тобто крапка.

(%І5) A: matrix ([ 10, 10, 12, 14],

[78,56, 44, 14], [42,80,10,53])S

(%І6) В: matrix ([25], [16], [45], [18]) $

(%І8) А.В;

(%о8) 5078 3734

Рис. 2.3. Фрагмент обчислень у Maxima

Таким чином, річні потреби в ресурсах: трудові - 1202 чол./годин, сиро­винні - 5078 тн., фінансові - 3734 тис. грн. ►

Приклад 2. Комбікормовий завод виробляє комбікорм за трьома рецеп­тами: №1 - для птахів, №2 - для риб і №3 - для свиней. При цьому використо­вується фуражний ячмінь, фуражна пшениця, пшеничні висівки й зернові від­ходи. Рецептура виготовлення 1 т кожного виду комбікорму, а також план ви­робництва й вартість 1 тн. кожного виду сировини наведені в таблиці 2.3. Знай­ти потреби у сировині для планового випуску комбікормів і загальну вартість сировини.

Таблиця 2.3 Рецептура, план виробництва й вартість 1 тн. кожного виду сировини, що використовує комбікормовий завод ________________ Комбікорми Норма витрати сировини на 1 тн. продукції, тн. План ви- ва, тн.   ф. ячмінь ф. пшениця п. висівки з. відходи   рецепт №1 0,3 0,1 0,4 0,2   рецепт №2 0,2 0,2 0,5 0,1   рецепт №3 0,1 0,3 0,3 0,3     Вартість сировини, грн./тн.

 

Ч Норми витрат сировини характеризуються матрицею:   f 0,3 0,1 0,4 0,2 ^ A= 0,2 0,2 0,5 0,1   Ч 0,1 0,3 0,3 0,3 J

 

План випуску комбікормів задано матрицею B =

Вартість кожного виду сировини задано матрицею:

C = (420 430 100 50).

Для одержання витрат сировини за видами необхідно стовпці матриці A перемножити зі стовпцем B. Це суперечить правилу множення двох матриць. Отже, необхідно попередньо транспонувати матрицю A, а потім знайти добуток

T T

A B. Позначимо S=A B.

Розв'яжемо поставлену задачу з використанням програми Maxima. Для знаходження матриці A (тобто для транспонування матриці) необхідно вико­ристати функцію transpose, а для обчислення добутку двох матриць викори­стовується символ «.», тобто крапка.

Для очищення пам'яті від однакових літер для найменування матриць використовуємо команду kill(all). Для того, щоб не захаращувати екран після введення матриць ставимо знак «$».

5400 1200 9800

Отже, потреби у сировині - 2840 тн. фуражного ячменю, 3720 тн. фура­жної пшениці, 5700 тн. пшеничних висівок і 4140 тн. зернових відходів. Загальну вартість сировини знайдемо як добуток матриць C і S.

О wxMaxima 0.7.4 [ Лінійна алгебра.wxm
Файл	Правка Макіпіа	Уравнения і	Алгебра Анализ
в н	а йг ш Е	□ @ 1	©	О)-------------

(%І4) kill (all); (%oO) done

 

(%il) A: matrix ([0.3,0.1,0.4,0.2],

[0.2,0.2,0.5,0.1], [0. 1, 0. 3, 0. 3, 0. 3]) $

(%І2) В: matrix ([5400],

(%o3)

[12 00], [9800])S

(%i3) S: (transpose (A)). В; 2840.0

3720.0 5700.0 4140.0

(%i4) С:matrix([420,430, 100, 50]) $

(%І5) C. S; (%o5) 3569400.0

Рис. 2.4. Фрагмент обчислень у Maxima

Отже, загальна вартість сировини складає 35б9,4 тис. грн. ►

Таким чином, ці прості приклади показують, що матриці, власно кажу­чи, не переставні одна до одної, тобто A• B Ф B• A. Тому при множенні матриць потрібно ретельно стежити за порядком множників. Коли A• B = B •A, матриці A і B називаються переставними або такими, що комутують між собою.

Можна перевірити, що множення матриць підкоряється асоціативному й дистрибутивному законам, тобто (AB)C=A(BC) і (A+B)C=AC+BC.

Легко також перевірити, що при множенні квадратної матриці A на оди­ничну матрицю E того ж порядку знову одержимо матрицю A, причому AE=EA=A.

Можна відзначити наступний цікавий факт. Як відомо, добуток 2-ох від­мінних від нуля чисел не дорівнює 0, а добуток 2-ох не нульових матриць може виявитися рівним нульовій матриці.

Наприклад, якщо A

'1 1\ и І 1 1 \ AH {І 1 1 М 0 0 (1 l), ^B = (_1 _l),^{то A}- =1 1)_1 -1=0 0

5б

2.4. Індивідуальне завдання № 2.1

Студент повинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі групи.

4. (Л2-Б2)(Л+Б), де А

10. 3(Л2-Б2)-2ЛБт, де А =

Виконати дії над матрицями

	2 3 -1		-10 5
1. 2(Л+Б)(2Б-Л), де А =	4 5 2	, в =	0 1 3
	-10 7		2 - 2 4

 

	4 5 - 2		"2 1 -1"
2. ЗЛ-(Л+Б)Б, де А =	3 -10	, в =	0 1 3
	4 2 7		5 7 3

 

3. 2(Л-Б)(Л2+Б), де А =		1 7"		"2	4 1
-10	- 2 1	, в =		1 0
		1 2			2 1

 

			3"
, в =			- 2

7 2 0 - 7 - 2 1 1 1 1

 

		0"			6 -1
			, в =	-1	-2 0

5. (Л-Б2)(2Л+Б), де А =

 

		" 5		-1	"			"3 7	-2
6.	(Л-Б)Л+2Б, де А =			2-		,в	=	1 1	-2
		- 2 -	-1 0			0 1
				3-	1"			"2
7.	2(Л-0,5Б)+ЛБ, де А			0 4	,в	=	- 4	-2
				5-
				- 5"			-		4"
8.	(Л-Б)Л+ЗБ, де А =					в =
							-	1 -3
	2Л-(Л2+Б)Б, де А =	"1					"4		- 2"
9.			-2	,	в =
				-1					- 5

0 2

 

"4		1"		"2		2"
	-2		, в =		-7	- 2
	-1					-1

 

	" 1 0			"7	5 2
11. (2Л-Б)(ЗЛ+Б)-2ЛБ, де А =	- 2 0		, в =		1 2
	-1 3			- 3	-1 -
12. Л(Л-Б2)-2(Бт+Л)Б, де А =	" 2 3	1"			7 13"
-1 2		в =	-1	0 5
	5 3				13 21

		— 2 3		Г4	ll
13. (A+B)A-B(2A+3B), де A =		3 5	, B =		б
		4 — 1				1б

14. A(2A-B)-B(A-B), де A =

B=

Г2 3 l 4 —10 0 1 2 2 l 3 1 — 2 0 4 — 3 0

987 273 4 3 5 ' 1 2 3' -3 0 l 2 1 2

 

 

	Г4	— 2 0		0 — 2 4
1б. 2AB-(A+B)(A-B), де A =		1 2	, B =	1 2 3
		— 2 0		3 4 — 5

15. 3(A+B)(ABT-2A), де A =

B=

 

	"1 — 1			Г 5 3	l"
17. 2A+3B(AB-2A), де A =	2 0	— 1	, B =	— 1 2
	7 3			— 3 0

18. (A-B)(A+B)-2ATB, де A

B

 

3 2 — 4 -l 0 2 l — 2 1 — 1 3 2 — 1 0 —12 5 7 l 4 5 б' l 0 3 1 2 — 1

1 — 2

—l l 3 —l

2 0

—3	l
"0	—l	l
		—2
	l

3 —l —l 2

B

20. A2-(A+B)(A-3B), де A

					2 1 "
	—2		, B =	— 1	2 0
	l				3 — 1

19. 2A-AB(B-A)+B, де A

	—3			"— 4
	—l		, B =

21. B(A+2B)-3AB, де A =

B

 

 

22. 3(A+B)-(A-B)A, де A =     — 2 — 2         23. A(A-B)+2B(A+B), де A =   1 — 2 , B =           — 1 — 1

 

 

				— 1					-1 0	2"
24.	(2A+B)B-3B, де A =				— 2	,	B=		2 1
			— 1				—
	AB-2(AT+B)A, де A		"2		— 1"			"2 — 1		"
25.					,	B=	0 2
					— 2			1 3	— 1
			"1								— 1
2б.	(A+2B)(3A-B), де A			—2			, B		— 2		— 1
					—

 

	2ЛТБ-Л(БТ-Л), де А —	"1		-1				-1
27.				, В —		-1
				-1
		" 1		3"			0 2"
28.	3(Л+Б)(2Б-Л), де А —	-1			В—		3 1
							1 0
		"2		4"		"2		- 2"
29.	2Л(Л+Б)-3ЛБ, де А —		-2		, В —
							-1

30. 3ЛБ+(Л-Б)(Л+2Б), де А

 

"2	5 -1		"1	-2	0"
	2 1	, В —
	0 1

1 2 3 2 0 5 1 2 -1

В

2 0 1

5 1

31. 2(Л-Б)+(Л+Б)Л, де А

 

2.5. Поняття визначника. Методи обчислення визначників

а11 а12 а21 а22

Визначник матриці називають ще детермінантом. Для його запису ви­користовують наступні позначення: |А|, деі А, деі (аф, А.

а11 а12 а21 а22

Визначником квадратної матриці другого порядку А =

нази­

вається число, що дорівнює ^а11 ' ^а22 ^а12 ' ^а21 Й описується символом

 

а11 а12 а21 а22

Тобто

— ^ац • ^а22 ^а12 ' ^а21

 

Отже, для того щоб знайти визначник другого порядку потрібно з до­бутку елементів головної діагоналі відняти добуток елементів другої діагоналі.