Приклад. Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4

Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4

^ 5 -2 1 = (2 • (-2) • 3 + 3-1 -1 + 4 • 5 • 2) - (4 • (-2)-1 + 3 • 5 • 3 + 2 • 1 • 2) 1 2 3

= (-12 + 3 + 40) - (-8 + 45 + 4) = 31 - 41 = -10.

Зробимо перевірку обчислення за допомогою програми Maxima, у якій

для обчислення визначника матриці використовується функція determinant.

(%il) determinant, (matrix ([2, З, 4],

[5,-2, 1], [1,2,3]));

- 10 ^

Отже, на відміну від матриць, які являють собою таблицю чисел, визначник це число, що певним чином ставиться у відповідність до матриці.

2.6. Властивості визначників

T

1. Якщо квадратна матриця A є транспонованою до матриці A, то їхні

•X

ka11 ka

a

21 31

22 32

визначники збігаються |A | = |A|, тобто визначник матриці не змінюється, якщо її рядки змінити стовпцями й навпаки, наприклад, для визначника третього по­рядку:

a11	a12	a13		a11	a21	a31
a21	a22	a23	=	a12	a22	a32
a31	a32	a33		a13	a23	a33

 

2. При перестановці 2-х рядків або стовпців матриці, її визначник змі­нить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:

a11	a12	a13		a13	a12	a11
a21	a22	a23	-----	a23	a22	a21
a31	a32	a33		a33	a32	a31

 

3. Якщо матриця має два однакові рядки або стовпця, то її визначник дорівнює нулю:

a11	a12	a13	= 0
a21	a22	a23
a21	a22	a23

 

Дійсно, якщо переставити тут 2-ий і 3-ій рядки, то за властивістю 2 цей визначник повинен змінити знак, але сам визначник у даному випадку не змі­нюється, тобто одержуємо |A| = -|A| або |A| = 0.

4. Загальний множник рядка або стовпця можна виносити за знак ви­значника (на відміну від матриць, де множення матриці на число к рівносильне множенню всіх елементів матриці на це число):

^a11 ^a12 ^a13 ^{к a}21 ^a22 ^a23. ^a31 ^a32 ^a33

5. Якщо всі елементи будь-якого стовпця матриці дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо всі елементи будь-якого рядка або стовпця матриці представ­лені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник можна представити у вигляді суми 2-х визначників за формулою:

а11	а12	а13		а11	а12	а13		а11	а12	а13
а21	а22	а23	=	а21	а22	а23	+	а21	а22	а23
', *		', *		/	/	/		№	Л>	//
а31 + а31	а3 2 + а32	а3 3 + а33		а31	а32	а33		а31	а32	а33

 

7. Якщо до будь-якого рядка (або стовпця) матриці додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне й теж число, то визначник не змінить своєї величини:

 

а₁₁ + ка₁₂ а

а₂₁ + ка

а

її 21 31

22 32

22 32

^аз1 + ^каз2

 

8. Визначник діагональної та трикутної матриці дорівнює добуткові елементів, що розташовані на головній діагоналі: а11       а11 а12 а13     а22       а22 а23 - ап X а22 х а33     а33       а33

 

2.7. Мінори й алгебраїчні доповнення. Розкладання визначників за елементами рядків і стовпців

Нехай маємо визначник третього порядку:

 

а

а

а

 

^а21 ^а22 ^а23

*31 ^а32 ^а33

Д =

а

Мінором, що відповідає даному елементові ау визначника третього по­рядку, називається визначник другого порядку, отриманий із даного викреслю­ванням рядка й стовпця, на перетині яких розташований даний елемент, тобто

і-го рядка й у'-го стовпця. Мінори відповідні даному елементові ау будемо по­значати Мі

а

у

Наприклад, мінором М₁₂, що відповідає елементові а₁₂, буде визнач­

 

21 31

ник: М

, який отримаємо викреслюванням з даного визначника 1-го

 

рядка і 2-го стовпця.

Якщо формулу для обчислення визначника третього порядку

перетворити у вигляд

\1(

' а32а23)'

(

(

а31а22)■

а, 11 а^^а

а

12 (а21а33

13 (а21а32

22"33

а2заз!) + а!

 

то одержимо визначник, що дорівнює сумі добутків елементів 1-го рядка на відповідні їм мінори; при цьому мінор, що відповідає елементові а₁₂, береться зі знаком «-», тобто можна записати, що:

А = а₁₁М₁₁ -а₁₂ М₁₂ + а₁₃М₁₃ (2.1)

22 32

21 31

21 31

+ а,

а

ретього порядку маємо:

а11	а12	а13
а21	а22	а23
а31	а32	а33

а

 

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка а₁₁, а₁₂, а₁₃ і зводить обчислення визначника тре­тього порядку до обчислення визначників другого порядку.

Аналогічно можна ввести поняття мінорів для визначників четвертого, п'ятого й т.д. порядків.

Для визначника т А