Зворотна матриця

Поняття зворотної матриці вводиться тільки для квадратних матриць. Якщо А - квадратна матриця, то зворотною для неї матрицею називаєть­ся матриця, що позначається А^-1 і задовольняє умові:

А • А"¹ = А"¹ • А = Е. Справедлива наступна теорема:

Для того щоб квадратна матриця А мала зворотну, необхідно й достат­ньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

Якщо умови теореми виконані, то матриця зворотна до матриці

ґ „ „ „ л

Л де Л - союзна матриця

а21 а22 а23 V а31 а32 а33 у

-1 Л

знаходиться у такий спосіб: Л = -.—г,

Союзна матриця Л

І^ЛІ

^Л11 ^Л21 ^Л31

ап ап а13

^Л12 ^Л22 ^Л32 V ^Л13 ^Л23 ^Л33 У

 

де Лу - алгебраїчні доповнення елементів ау первинної матриці Л.

Для знаходження союзної матриці простіше спочатку транспонувати первинну матрицю Л, а потім скласти матрицю з алгебраїчних доповнень уже транспонованої матриці А.

Отже, щоб знайти зворотну матрицю потрібно:

1. Знайти визначник матриці Л;

2. Знайти матрицю транспоновану до первинної;

3. Знайти алгебраїчні доповнення Лу всіх елементів транспонованої матриці (одержати союзну матрицю Л);

1 Л

4. Знайти зворотну матрицю за формулою: Л~ = -—т.

І^ЛІ

Аналогічно для матриць другого порядку, зворотною буде наступна ма-

\

*21

^тр^иц^{я л1} = Л | ^{Л11 Л}

|Л| V^Л12 ^Л22 у

Зворотна матриця має такі властивості:

1) визначник зворотної матриці А"¹ дорівнює величині зворотній до визначника заданої матриці А, тобто:

^ Л^_1=Ше! Л;

2) зворотна матриця добутку матриць дорівнює добуткові зворотних матриць, узятих у зворотному порядку:

(А В)'¹ = В~¹- А"¹;

3) матриця транспонована до зворотної дорівнює зворотній від транс­понованої до даної матриці, тобто:

(А"У = (А^т)^-1.