Розв'язування СЛАР за допомогою зворотної матриці
Нехай дана система із трьох рівнянь із трьома невідомими: ап Х1 а12 Х2 + а із Хз Ьі а21Х + а22 Х2 + а2з*Хз Ь2 * а31Х1+ аз2 Х2+ азз Х3=Ь3
ап Х1 а12 Х2 а 13 Х3 а21Х1 + а22 Х2 + а2з *Хз ч а31Х1+ а32Х2+ а33Х3
тобто в результаті добутку ми одержуємо ліві частини рівнянь даної системи* Користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати у вигляді: апХ1 + 0^12 Х2 + а1з -Хз , або у скороченому вигляді А- X=B* а2^1 + а22 Х2 + а2з *Хз к а31 Х1+ а32Х2+ а33Х3 у Матриці А і В складаються з коефіцієнтів, тому вони відомі, а матриця X невідома* її елементи є розв'язком даної системи* Це рівняння називають матричним рівнянням* Нехай визначник матриці системи відмінний від нуля |А| Ф 0* Тоді матричне рівняння розв'язується у такий спосіб* Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю А-1, зворотну до матриці А: А-1 (АХ) = А~1В, або (А-1 А)Х = А~1В *
Оскільки А-1 А = Е і Е• X = X, то отримаємо розв'язок матричного рівняння у вигляді X = А1 В* Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна розв'язувати тільки ті системи, у яких число рівнянь збігається із числом невідомих* Після знаходження розв'язків, необхідно зробити перевірку, підставивши знайдені розв'язки в кожне з рівнянь первинної системи*
|
