Розв'язування СЛАР за допомогою зворотної матриці

 

Нехай дана система із трьох рівнянь із трьома невідомими:

а_п Х1 а₁₂ Х2 + а із Хз Ьі а21Х + а22 Х2 + а2з*Хз Ь2 *

^а31^Х1+ ^аз2 ^Х2+ ^азз ^Х3=^Ь3

 

Розглянемо матрицю системи А = відомих і вільних членів X = Г Х ї , В = Г Ь11 Х2 Ь2   К Хз у   К Ь3)

 

а_п Х1 а12 Х2 а 13 Х3

а21Х1 + а22 Х2 + а2з *Хз _ч ^а31^Х1+ ^а32^Х2+ ^а33^Х3

Ь2 к Ь3 у

тобто в результаті добутку ми одержуємо ліві частини рівнянь даної системи* Користуючись визначенням рівності матриць цю систему можна записати у вигляді:

а_пХ1 + 0^12 Х2 + а1з -Хз

, або у скороченому вигляді А- X=B*

а2^1 + а22 Х2 + а2з *Хз к ^а31 ^Х1+ ^а32^Х2+ ^а33^Х3 у

Матриці А і В складаються з коефіцієнтів, тому вони відомі, а матриця X невідома* її елементи є розв'язком даної системи* Це рівняння називають мат­ричним рівнянням*

Нехай визначник матриці системи відмінний від нуля |А| Ф 0* Тоді мат­ричне рівняння розв'язується у такий спосіб* Помножимо обидві частини рів­няння зліва на матрицю А^-1, зворотну до матриці А: А^-1 (АХ) = А~¹В, або

(А^-1 А)Х = А~¹В *

Г а11	а12	а13 ^
а21	а22	а23
К а31	а32	азз у

і матриці-стовпці не-

Г а11	а12	а13		Г Х11
а21	а22	а23		Х2	=
к а31	а32	азз)		К Хз)

Знайдемо добуток А • X

Оскільки А^-1 А = Е і Е• X = X, то отримаємо розв'язок матричного рів­няння у вигляді X = А¹ В*

Зауважимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна розв'язувати тільки ті сис­теми, у яких число рівнянь збігається із числом невідомих* Після знаходження розв'язків, необхідно зробити перевірку, підставивши знайдені розв'язки в ко­жне з рівнянь первинної системи*