Приклади. Приклад 1. Знайти ранг матриці A ■

Приклад 1. Знайти ранг матриці A ■

Л Матриця А має ранг 3, тому що є мінор третього порядку, відмінний від нуля, а мінорів четвертого порядку немає. ►

Приклад 2. Знайти ранг матриці B

Л Ранг матриці В дорівнює 1, бо є ненульовий мінор першого порядку (елемент матриці Ь₁₃), а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю. ►

Приклад 3. Обчислити ранг матриці C =

 

Л Оскільки з первинної матриці можна вирізати квадратну підматрицю максимально третього порядку, то перевіримо на рівність нулю, наприклад, "2 0 2",

4 4

A=2.

Розкладанням за першим рядком маємо:

підматрицю

		+ 2 ■

-б4 — 32 = —9б Ф 0.

 

Тобто ранг даної матриці дорівнює 3.

Зробимо перевірку обчислення за допомогою програми Maxima, у якій

для обчислення ранг даної матриці використовується функція rank.

(%І8) rank (matrix ([2,0,2,2],

[4, 4, 8, 16], [8, 4, 0,2]));

Ця матриця складається з рядків і

(%о 8) З

Ранг невиродженої квадратної матриці порядку n дорівнює n, тому що її визначник є мінором порядку n і у невиродженої матриці відмінний від нуля. При транспонуванні матриці її ранг не змінюється, тобто:

rang A= rang A.

Розглянемо тепер як рядки (стовпці) матриці залежать один від одного.

	' aii	ai2	•• ain ^
Нехай є матриця A =	a21	a22.	■■ a2n
	V am1	a 2 m 2	.. a, mn J

стовпців, що називають векторами.

 

Позначимо вектори-стовпці матриці А₁, А₂,..., А_п. Аналогічно, можна було б позначити вектори-рядки матриці.

Лінійною комбінацією векторів А₁, А₂,..., А_п з дійсними коефіцієнтами Л₁, Л₂,..., Л_п називається сума:

п

^Л А +Я2 А +...+ЛА = £^ЛЛ

і=1

Система стовпців (рядків) називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один відмінний від нуля, при яких лі­нійна комбінація стовпців (рядків) із цими коефіцієнтами буде дорівнювати ну­^лю, ^тобто: Л Аі + Л А2 +...+ЛпАп = £ ЛА = 0.

і=1

Система стовпців (рядків) є лінійно незалежною, якщо лінійна комбі-

п

нація ЛА₁ +Л₂А₂ +... + Л_пА_п = £Л_іА_і дорівнює нулю (нульовому векторові) тіль-

і=1

ки тоді, коли всі коефіцієнти Л₁, Л₂,...,Л дорівнюють нулю.

Система стовпців (рядків) є лінійно залежною тоді й тільки тоді, коли один зі стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (ряд­ків) цієї системи.