Приклад.

		3 -1
А д =		2 1	= -9 Ф 0, тобто х = у = г = 0. ►
		11 -1

Знайти розв'язок СЛАР

х + 3у - г = 0, 2 х + 2 у + г = 0, 4 х +11 у - г = 0

 

Теорема. Для того, щоб система лінійних однорідних рівнянь мала не- нульовий розв'язок, необхідно й достатньо, щоб А Ф 0.

Отже, якщо визначник А Ф 0, то система має єдиний розв'язок. Якщо ж А=0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч розв'язків.

Отже, ненульові розв'язки можливі лише для таких систем лінійних од­норідних рівнянь, у яких число рівнянь не більше числа змінних, коли визнач­ник системи дорівнює нулю. Інакше: система лінійних однорідних рівнянь має ненульові розв 'язки тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи менш ніж число змінних, тобто при rang A < n. Якщо однорідна система лінійних рів­нянь має ненульовий розв'язок, то вона має безліч розв'язків.

Позначимо будь-які ненульові розв'язки системи у вигляді векторів-

r 1 \

 

Р2

X

стовпців Х₁

 

V ^ln У

Сформулюємо дві основні властивості розв'язків системи лінійних од­норідних рівнянь:

V Рп

1. Розв'язок, помножений на число, теж є розв'язком. Наприклад,

 

Лр2 Лр,

Я Х1

n

■ теж розв язок системи.

 

2. Сума розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь є розв'язком цієї системи.

Переконатися в справедливості зазначених властивостей можна безпо­середньою підстановкою їх у рівняння системи.

Визначення: Набір розв'язків Х_ь Х₂,..., Xk однорідної системи рівнянь називається фундаментальною системою розв'язків лінійної системи рівнянь.

Інакше: розв'язки Х₁, Х₂,..., X_k системи AX = 0 утворюють фундамен­тальну систему розв'язків, якщо стовпці Х₁, Х₂,..., Xk утворюють лінійно не­залежну систему і будь-який розв'язок системи є лінійною комбінацією цих стовпців.

Визначення: Нехай Х_ь Х₂,..., X_k - фундаментальна система розв'язків однорідної системи A • Х = 0. Тоді вираз Х = Q • Хі + C2 • Х3 +... + C_k • Х_к, де Q,C2,.,- довільні числа, будемо називати загальним розв'язком сис­теми АХ = 0.

З визначення фундаментальної системи розв'язків випливає, що будь- який розв'язок однорідної системи може бути отриманий із загального розв'язку при деяких значеннях Q,С2,...,Ck. І навпаки, за будь-яких фіксова­них числових значень Q,С2,...,Ck із загального розв'язку одержимо розв'язок однорідної системи.

Теорема: Нехай Х_ь Х₂,..., Xk - фундаментальна система розв'язків од­норідної системи А • X = 0. Позначимо через k - число розв'язків цієї фунда­ментальної системи. Тоді rang А + k = п, де п - число невідомих у системі. І на­впаки, усяка фундаментальна система розв'язків складається з k розв'язків, причому, k = п - rang А.