Структура розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь

Нехай дана система т неоднорідних рівнянь з п невідомими:

allХl+ al2 Х2+ alз Х3+... + alnХn Ь,, _< ^a2l^xl + ^a22^Х2 + ^3^Х3+... + ^a2n^xn =^Ь2,.

п

^aml^xl+ ^ 2 ^Х2+ ^3 ^Х3+...+ ^п^хП =^bm.

У матричному вигляді таку систему запишемо як A • X — B, де матриця A має розміри m^xn.

Нехай c і d - розв'язки неоднорідної системи A • X — B. Тоді їх різниця g=c-d є розв'язком однорідної системи з тією ж матрицею, тобто розв'язком системи A • X — 0.

Нехай c - розв'язок неоднорідної системи A • X — B, g - будь-який розв'язок однорідної системи A • X — 0. Тоді d=c+g - розв'язок неоднорідної системи.

Визначення. Нехай X₀ - деякий розв'язок неоднорідної системи ліній­них рівнянь A • X — Б, z - загальний розв'язок однорідної системи A • X — 0. Тоді вираз X=X₀+z називається загальним розв'язком неоднорідної системи.

З огляду на запис загального розв'язку однорідної системи через фунда­ментальну систему її розв'язків X,, X₂,..., Xk одержуємо формулу для загально­го розв' язку неоднорідної системи:

^{X —} х;0 + Є, • ^X1 + ^с2 •^X3 + ^ + С_к • ^X_к.

Інакше, загальний розв'язок системи т лінійних рівнянь з п змінними дорівнює сумі загального розв 'язку відповідної їй системи однорідних лінійних рівнянь і довільного частинного розв 'язку цієї системи.

Із двох останніх тверджень випливає, що будь-який розв'язок неоднорі­дної системи може бути отриманий із загального розв'язку при деяких число­вих значеннях коефіцієнтів С,, С2,..., Ск.

Теорема. Система лінійних рівнянь A • X — Б може мати або безліч розв'язків, або один розв'язок, або не мати розв'язків.