Структура розв'язків неоднорідної системи лінійних рівняньНехай дана система т неоднорідних рівнянь з п невідомими: allХl+ al2 Х2+ alз Х3+... + alnХn Ь,, < a2lxl + a22Х2 + ^3Х3+... + a2nxn =Ь2,. п amlxl+ ^ 2 Х2+ ^3 Х3+...+ ^пхП =bm. У матричному вигляді таку систему запишемо як A • X — B, де матриця A має розміри mxn. Нехай c і d - розв'язки неоднорідної системи A • X — B. Тоді їх різниця g=c-d є розв'язком однорідної системи з тією ж матрицею, тобто розв'язком системи A • X — 0. Нехай c - розв'язок неоднорідної системи A • X — B, g - будь-який розв'язок однорідної системи A • X — 0. Тоді d=c+g - розв'язок неоднорідної системи. Визначення. Нехай X0 - деякий розв'язок неоднорідної системи лінійних рівнянь A • X — Б, z - загальний розв'язок однорідної системи A • X — 0. Тоді вираз X=X0+z називається загальним розв'язком неоднорідної системи. З огляду на запис загального розв'язку однорідної системи через фундаментальну систему її розв'язків X,, X2,..., Xk одержуємо формулу для загального розв' язку неоднорідної системи: X — х;0 + Є, • X1 + с2 •X3 + ^ + Ск • Xк. Інакше, загальний розв'язок системи т лінійних рівнянь з п змінними дорівнює сумі загального розв 'язку відповідної їй системи однорідних лінійних рівнянь і довільного частинного розв 'язку цієї системи. Із двох останніх тверджень випливає, що будь-який розв'язок неоднорідної системи може бути отриманий із загального розв'язку при деяких числових значеннях коефіцієнтів С,, С2,..., Ск. Теорема. Система лінійних рівнянь A • X — Б може мати або безліч розв'язків, або один розв'язок, або не мати розв'язків.
|
