Випадок 3

Якщо виходить система із трапецеїдальною матрицею коефіцієнтів і при цьому вільний член рівняння теж дорівнює нулю, то система сумісна й невизначена. Розглянемо наведену систему із трьох рівнянь:

auXl І a^ X2	І	al3 X3	— bl	a11	al2	al3	bl
0^22 X2	І	a23 X3	— b2 ^	О	a22	a23	b2
		О	—О	О	О	О	О

 

Останнє рівняння системи обернулося на нуль, і система стала недовизначеною - два рівняння із трьома невідомими. Запишемо розв'язки системи в такий спосіб:

Х3 -;

 

Xrf

a

a

^(Ь2 ^a23 ^X3 ^{) — (Ь}2 ^a23 ' ^C);

 

Ьч - a.

Ь2 a23'

■ al3 ' C

X

a^ X2 a,l3

a

a

a

a

33 у

C) —-

 

Задаючи різні значення параметра С, ми одержимо різні розв'язки сис­теми. Отже, розв'язків безліч. Оскільки розв'язок залежить від одного парамет­ра, то розмірність розв'язку дорівнює 1. Розглянемо ранги основної матриці системи й розширеної матриці, вони, напевно, збігаються (рівні 2), але менш за розмірність системи (кількість невідомих), тобто rang A = rang A* < n.

У загальному випадку, коли кількість змінних складає n, послідовність дій аналогічна. У лівій частині залишаємо невідомі з номерами, що відповіда-

ють першим ненульовим елементам у кожному рядку, тобто X},Xj,...,Хр. Ви­значимо, що р=гап§ А. Інші невідомі переносимо в праву частину. Уважаючи невідомі в правій частині деякими фіксованими величинами, нескладно вирази­ти через них невідомі лівої частини.

Тепер, даємо невідомим у правій частині довільні значення й обчислю­ємо значення змінних лівої частини, тобто знаходимо різні розв'язки первинної системи А ■ X = В. Щоб записати загальний розв'язок, потрібно невідомі в пра­вій частині позначити в будь-якому порядку буквами С\, Сі,---, С_{п -} р, включаю­чи і ті невідомі, які явно не виписані у правій частині через нульові коефіцієн­ти. Тоді невідомі можна записати у вигляді стовпця, де кожен елемент буде лі­нійною комбінацією довільних величин Сі,Сі,.,С_п-р (зокрема, просто до­вільною величиною С^). Цей запис і буде загальним розв'язком системи.

Якщо система була однорідною, то одержимо загальний розв'язок одно­рідної системи. Коефіцієнти при С₁, узяті в кожнім елементі стовпця загального

розв'язку, складуть перший розв'язок фундаментальної системи розв'язків, ко­ефіцієнти при С₂ - другий розв'язок і т.д.

Фундаментальну систему розв'язків однорідної системи можна одержа­ти й іншим способом. Для цього одній змінній, перенесеній у праву частину, потрібно дати значення 1, а іншим - нулі. Обчисливши значення змінних у лі­вій частині, одержимо один розв'язок фундаментальної системи. Надавши ін­шій змінній у правій частині значення 1, а іншим - нулі, одержимо другий розв'язок фундаментальної системи і т.д.

Може виникнути питання: «Навіщо розглядати випадок, коли деякі стовпці матриці А* нульові? Адже в цьому випадку відповідні ним змінні в сис­темі рівнянь у явному вигляді відсутні». Справа в тому, що в деяких задачах, наприклад, при знаходженні власних чисел матриці, такі системи виникають, але ігнорувати відсутні змінні не можна, тому що при цьому відбувається втра­та важливих для задачі розв'язків.