Студопедия — Приклади. Приклад 1. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приклади. Приклад 1. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:






Приклад 1. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

2Х3 2Х4 4Х5 — 2,

2 + 4Х3 - 8Х4 + 13Х5 + 2Х6 —14, 6х2 + 3Х3 - 6Х4 + 6Х5 - Х6 —18,


 

 


де Х^..., Х6- невідомі.

М Випишемо розширену матрицю системи:

2 -1
18 у

(0 2 1 -2 4

0 0
8 6
4 3
8 -6
Діючи за правилами, виконуємо прямій крок методу Гаусса. Додамо до

А*

13 6


2 у
до третього рядка додамо

другого рядка першим, помноженим на число

. Одержимо:

б

першим, помноженим на

V


О О V О
2 О О
1 -2 О О О О
2 б 12
A*
З б
2 4

 

 


б ^ З у
Отрима-

Додамо до третього рядка другим, помноженим на число


 

 


ємо:

2 1 -2 4 1 0 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0 0

Прямий крок методу Гаусса закінчений. Розглянемо ранги матриці сис­теми й розширеної матриці, вони, певно, збігаються (рівні 2), але менші за роз­мірності системи (кількості невідомих n=6), тобто rang A = rang A* < n.

Отже, розв'язків безліч.

Оскільки будь-яка фундаментальна система розв'язків складається з к розв'язків (к = n - rang A=6-2=4), то розмірність розв'язку дорівнює 4.

Виписуємо за останньою матрицею систему рівнянь:

2,

-3х5 - 2х6 = 6.

У лівій частині другого рівняння залишаємо першу ненульову змінну х5, а у лівій частині першого рівняння повинна залишитися кількість змінних до­рівнює рангові основної матриці ^=rang А =2. Залишаємо в лівій частині пер­шого рівняння дві змінні: першу ненульову х2 і вже визначену у другому рів­нянні Х5. Інші невідомі хі, Х3, Х4, Хб переносимо у праву частину (невідома х1 реально у ній присутньою не буде, коефіцієнт перед нею дорівнює нулю). Має­мо:

!

2 Х2 4 Х5 — 2 Х3 2 Х4 Хб, -3 х5 — 6 + 2 х6.

О О V
б О
A*
12 X2 Xз
■ 2 x4 + 4 x5 + x6

Уважаючи невідомі в правій частині деякими фіксованими величинами, нескладно виразити через них невідомі лівої частини.


 

 


C3, x6 — C4. Тоді:
C2, X4 2
C
C2 + 2C3

Нехам, наприклад, x1 — C1, x3

12 x2 + 4 x5


 

 


-З x5 — б + 2C4.


 

 


Знаходимо: x5 —-2 -—C4.

З

x2 —-2x5 +1 -1C2 + C3 -1C4 — 4 + 4C4 +1 -1C2 + C3 — C42 5 2 2 3 2 4 34 2 2 3 2 4


— 5 — Сі + Сз +— С 4, 2 2 3 6 4

де С1, С2, С3, С4 - довільні числа. Загальний розв'язок можна записати так:

х, ^ Х2 Х3 Х4 Х5 V Х6 У
5 С
X

С

5 - с>2+Сз+

С2

С3 -2 - С4


 

 


Приклад 2. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:


 

 


З,
■Хл

х, х2 2 х3


 

 


Х2 ЗХз 4Х4

2 х,

4 х, + х2 + 7 х3 + 2 х4 — 6, 5х, Х2 ЗХз 2Х4 — З

М Запишемо розширену матрицю системи:

З 7 З
2 2
А*.

1 2 -1

2 -1

1,
З Л -1 6 -з

4 1

5 -1

V


До другого рядка додамо перший, помножений на (-2), до третього рядка додамо перший, помножений на (-4), до четвертого рядка додамо пер­ший, помножений на (-5):

      -1 З
  -1   -7
  -1   -6
  -6 -7   -18
А* —

 

 


Віднімемо від третього рядка другий:

    -1 З
-1   -7
       
-6 -7   -18
А*

1 0 0


 

 


У третьому рядку всі: елементи матриці системи дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю. Отже, система несумісна, розв'язків немає. Відповідь: X — 0.^

2Х, Х2 ЗХз Х4 — 1,

3Х, + 2 Х2 Хз + Х4 — 2, 2 х, + Х2 + 2х3 - 3х4 — 1,

Приклад З. Розв'язати систему

4 х, 2 Х2 Х3 З Х4 — 2.


А Запишемо розширену матрицю системи:

-1 3 -1

3 2 -11 2 12 -3

4 -2 -1 -3

(3

1Л 2 1 2
А* —
у
(-1), (-2), додамо відпо­

Перший рядок, помножений на числа


 

 


відно до другого, третього і четвертого рядків:

-1 5/ 2 -2 -1
А*.
0 0

'2 -1 3

о У -и/

0 /2 /2

0 2 -1

0 0 -7


 

 


До третього рядка додамо другий, помножений на

Одержимо:
 
v ' \
 
-1 5/ /2 -24/ /! -1
0 0
А* =
-2/ 0
0 0
 

-11/ -7


 

 


До четвертого рядка додамо третій, помножений на

V15 у

2 -1 0 7/
-11 15
А* =

\

-1 5

-2/ /! -14
0 0
0 0
 

-24 -61

15,

За останньою матрицею маємо систему рівнянь:


 

 


23Хз Х4 — 1,

7 -11 5 1

Х^ Хл X л —,

7 Х2 - 11х3 + 5 Х,
2 х "3 і ±, 15 Х3 24 Х4 — 2, 183х4 —14.
 
7 61
" Хл
Х

2 [6] 2 [7] 2 [8] 2

-2 або

2 Х1 Х2 ЗХ3
■X,

Т'

-14

Х


5 15

Знаходимо послідовно значення невідомих:

24-
24 х4
2 • 5
 
Х

8 • 14 -122

Хл


 
 
 
61 • 15

183 • 5 183


 

 


11•2 5 • 14

+1
 
 
183 183
7 • 183 183

-22 - 70 +183 183 • 7


1 Х2 3Хз Х4
183 • 2

183 +13 + 6 +14 216 108

2 • 183 183


 

 


' Х1 ]   '108 ^
Х2 1  
Х3   -2
V Х4   V 14)
Відповідь:

 

Зауваження 3. Так само, як і прп розв'язуванні системи рівнянь за пра­вилом Крамера, при використанні методу Гаусса доводиться виконувати вели­кий обсяг обчислювальної роботи. Через це цілком можливо, що буде припу­щено якоїсь помилки в обчисленнях. Тому бажано після розв'язання системи виконати перевірку, тобто підставити отримані значення невідомих у рівняння системи. Для виконання повної перевірки підстановку потрібно зробити в усі рівняння системи. Якщо ж з якихось причин це неможливо, то можна підстави­ти знайдені значення в одне рівняння. На відміну від правила Крамера в методі Гаусса цю підстановку потрібно робити в ОСТАННЄ рівняння ПЕРВИННОЇ системи. За наявності в цьому рівнянні всіх невідомих ця підстановка майже завжди покаже наявність помилки.

Приклад 4. Знайти фундаментальну систему розв'язків і загальний розв'язок однорідної системи лінійних рівнянь:

Х^ Х2 Х3 2Х4 Х5 — 0,

2 х1 - Х2 Х3 Х4 + 2 Х5 — 0, -5Х1 + 7Х2 + Х3 +10Х4 - 11х5 — 0, -Х1 + 5Х2 - Х3 + 8Х4 - 7Х5 — 0.

^ Складаємо розширену матрицю системи:

1 -12 -1 -1 -1 -1 2 -5 7 1 10 -11 15 -18 -7

 
0 0 0 0
А*
V

Помножимо перший рядок послідовно на (-2), 5 і 1 і додамо, відповідно, до другого, третього й четвертого рядків. Одержимо матрицю:


 

 


Другий рядок помножимо послідовно на числа 4 і 2 і додамо, відповідно, до третього й четвертого рядків. Одержимо матрицю:

Г 11 -12 -1 0Л

0 -3 1 -5 4 0

0 0 0 0 0 0

А* —

0 0 0 0 0 0

Прямий крок методу Гаусса закінчений. В отриманої матриці легко ви-

Згідно з теоремою чи­
0 -3

1 1

значити rang A = rang A*=2 та її базисний мінор

сло розв'язків фундаментальної системи дорівнює різниці між числом невідо­мих п і рангом матриці.

У нашому випадку фундаментальна система складається із трьох розв'язків: п-га^ А = 5-2=3.

Переходимо до системи рівнянь:


 

 


0, 0.
IХ2
Х
3 Х2 Х3

Х3 2 Х4

■ 5 Х4 + 4 Х5


 

 


Невідомі х1 і х2 залишаємо у лівій частині, інші переносимо у праву частину:

!

Хі Х2 — Х3 2 X4 Х5,

ЗХ2 — Х3 5 Х4 4 Х5.

Одержимо фундаментальну систему розв'язків однорідної системи спо­собом, позначеним вище. Для цього змінній Х3, перенесеній у праву частину, дамо значення 1, а іншим - нулі. Обчисливши значення змінних у лівій частині, одержимо один розв'язок фундаментальної системи. Дамо змінній Х4 у правій частині значення 1, а іншим - нулі, одержимо другий розв'язок фундаменталь­ної системи і т.д.

Покладемо Х3 — 1, Х4 — 0, Х5 — 0. Одержимо із другого рівняння остан­


 

 


Х3 - 5 Х4 + 4 Х5 1 - 0 + 0 1
ньої системи: Х
 

З першого рівняння останньої


 

 


Ґ


 

 


Перший розв'язок фундаментальної системи: Х1

• Покладемо Х4 — 1, Х3 — 0, Х5 — 0. Одержимо із другого рівняння останньої системи: Х3 - 5 Х4 + 4 Х5 0 - 5 + 0 5

2 3 3 3

З першого рівняння останньої системи:

Х1 — —х2 + Х3 - 2 Х455 + 0 - 2 + 0 — -[9].

1 0

1 2 3 4 5 3 3


Другий розв'язок фундаментальної системи розв'язків: Х2

• Покладемо Х5 — 1, Х3 — 0, Х4 — 0.

Х

Одержимо із другого рівняння останньої системи:

Х3 - 5 Х4 + 4 Х5 _ 0 - 0 + 4 _ 4

3 3 3

1/Л /3 - 5/ -3 0 1 0

З першого рівняння останньої системи:


 

 


4 1

Х
Х2 Х3

■2 Х45 — — + 0 -0 + 1 — —. 4 5 3 3


 

 


-1 -3 3 0

Третій розв'язок фундаментальної системи розв'язків: Х3

Фундаментальна система розв'язків знайдена. Загальний розв'язок має


 

 


вигляд:


 

 


х — с • Хц + с2 • Х2 + С3 • Х3 Відповідь: Фундаментальна система розв'язків:


 

 


/3

- 5/ /3

V

0 1 0

У V х У

Х„
Загальний розв'язок:
—с
2
+ с3
Хл
0 0
0 0
Х V Х5 У
 

ґ 1 /\ ґ 1 /л

-1

-1

-5

Х —
Х2
, Х3
1 0 Ч0У г хл
0 0

0 1 0


 

 


Розв'язки помножені на будь-які ненульові числа знову утворюють фун­даментальну систему. Тому для попереднього приклада фундаментальну сис­тему утворять і такі розв'язки:


^ 21   Г-і 1   Г-і
    -5    
  , X2 -   , Х3 -  
         
V0,   V 0,   V 3

 

Загальний розв'язок можна записати так:

Г Х ^   Г 21   Г-і 1   Г-і
        -5    
Х3 - С і   + С2   +С3  
Х4            
V Х5   V 0,   V 0,   V 3

 







Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 713. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия