Приклади. Приклад 1. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

2Х3 2Х4 4Х5 — 2,

8Х₂ + 4Х₃ - 8Х₄ + 13Х₅ + 2Х₆ —14, 6х₂ + 3Х₃ - 6Х₄ + 6Х₅ - Х₆ —18,

 

де Х^..., Х₆- невідомі.

М Випишемо розширену матрицю системи:

2 -1

18 у

(0 2 1 -2 4

0 0

8 6

4 3

8 -6

Діючи за правилами, виконуємо прямій крок методу Гаусса. Додамо до

А*

13 6

2 у

до третього рядка додамо

другого рядка першим, помноженим на число

. Одержимо:

б

першим, помноженим на

V

О О V О

2 О О

1 -2 О О О О

2 б 12

A*

З б

2 4

 

б ^ З у

Отрима-

Додамо до третього рядка другим, помноженим на число

 

ємо:

2 1 -2 4 1 0 0 0 -3 -2 0 0 0 0 0 0

Прямий крок методу Гаусса закінчений. Розглянемо ранги матриці сис­теми й розширеної матриці, вони, певно, збігаються (рівні 2), але менші за роз­мірності системи (кількості невідомих n=6), тобто rang A = rang A* < n.

Отже, розв'язків безліч.

Оскільки будь-яка фундаментальна система розв'язків складається з к розв'язків (к = n - rang A=6-2=4), то розмірність розв'язку дорівнює 4.

Виписуємо за останньою матрицею систему рівнянь:

2,

-3х₅ - 2х₆ = 6.

У лівій частині другого рівняння залишаємо першу ненульову змінну х₅, а у лівій частині першого рівняння повинна залишитися кількість змінних до­рівнює рангові основної матриці ^=rang А =2. Залишаємо в лівій частині пер­шого рівняння дві змінні: першу ненульову х₂ і вже визначену у другому рів­нянні Х5. Інші невідомі хі, Х3, Х4, Хб переносимо у праву частину (невідома х₁ реально у ній присутньою не буде, коефіцієнт перед нею дорівнює нулю). Має­мо:

!

2 Х2 4 Х5 — 2 Х3 2 Х4 Хб, -3 х₅ — 6 + 2 х₆.

О О V

б О

A*

12 X2 Xз

■ 2 x4 + 4 x5 + x6

Уважаючи невідомі в правій частині деякими фіксованими величинами, нескладно виразити через них невідомі лівої частини.

 

C3, x6 — C4. Тоді:

C2, X4 2

C

C2 + 2C3

Нехам, наприклад, x₁ — C₁, x₃

12 x₂ + 4 x₅

 

-З x₅ — б + 2C₄.

 

Знаходимо: x₅ —-2 -—C₄.

З

x₂ —-2x₅ +1 -¹C₂ + C₃ -¹C₄ — 4 + ⁴C₄ +1 -¹C₂ + C₃ — C₄ — ^{2 5} 2 ^{2 3} 2 ⁴ 3⁴ 2 ^{2 3} 2 ⁴

— 5 — Сі + Сз +— С 4, 2 ^{2 3} 6 ⁴

де С₁, С₂, С₃, С₄ - довільні числа. Загальний розв'язок можна записати так:

х, ^ Х2 Х3 Х4 Х5 V Х6 У

5 С

X

С

5 - ^с>2+^Сз+

С₂

С3 -2 - С4

 

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

 

З,

■Хл

х, х2 2 х3

 

Х2 ЗХз 4Х4

2 х,

4 х, + х₂ + 7 х₃ + 2 х₄ — 6, 5х, Х2 ЗХз 2Х4 — З

М Запишемо розширену матрицю системи:

З 7 З

2 2

А*.

1 2 -1

2 -1

1,

З Л -1 6 -з

4 1

5 -1

V

До другого рядка додамо перший, помножений на (-2), до третього рядка додамо перший, помножений на (-4), до четвертого рядка додамо пер­ший, помножений на (-5):

			-1	З
	-з	-1		-7
	-з	-1		-6
	-6	-7		-18

А* —

 

Віднімемо від третього рядка другий:

		-1	З
-З	-1		-7
-6	-7		-18

А*

1 0 0

 

У третьому рядку всі: елементи матриці системи дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю. Отже, система несумісна, розв'язків немає. Відповідь: X — 0.^

2Х, Х2 ЗХз Х4 — 1,

3^Х, + ^{2 Х}2 ^Хз + Х₄ — 2, 2 х, + Х2 + 2х₃ - 3х₄ — 1,

Приклад З. Розв'язати систему

4 х, 2 Х2 Х3 З Х4 — 2.

А Запишемо розширену матрицю системи:

-1 3 -1

3 2 -11 2 12 -3

4 -2 -1 -3

(3

1Л 2 1 2

А* —

у

(-1), (-2), додамо відпо­

Перший рядок, помножений на числа

 

відно до другого, третього і четвертого рядків:

-1 5/ 2 -2 -1

А*.

0 0

'2 -1 3

о У -и/

⁰ /2 /2

0 2 -1

0 0 -7

 

До третього рядка додамо другий, помножений на

Одержимо:

v ' \

-1 5/ /2 -24/ /! -1

0 0

А* =

-2/ 0

0 0

-11/ -7

 

До четвертого рядка додамо третій, помножений на

V15 у

2 -1 0 7/

-11 15

А* =

\

-1 5

-2/ /! -14

0 0

0 0

-24 -61

15,

За останньою матрицею маємо систему рівнянь:

 

23Хз Х4 — 1,

7 _-11 5 _— 1

Х^ Хл X л —,

7 Х2 - 11х3 + 5 Х,

2 х "3 і ±, 15 Х3 24 Х4 — 2, 183х4 —14.

7 61

" Хл

Х

2 ^[6] 2 ^[7] 2 ^[8] 2

-2 або

2 Х1 Х2 ЗХ3

■X,

Т'

-14

Х

5 15

Знаходимо послідовно значення невідомих:

24-

24 х4

2 • 5

Х

8 • 14 -122

Хл

61 • 15

183 • 5 183

 

11•2 5 • 14

+1

183 183

7 • 183 183

-22 - 70 +183 183 • 7

1 Х2 3Хз Х4

183 • 2

183 +13 + 6 +14 216 108

2 • 183 183

 

' Х1 ]		'108 ^
Х2	— 1
Х3		-2
V Х4		V 14)

Відповідь:

 

Зауваження 3. Так само, як і прп розв'язуванні системи рівнянь за пра­вилом Крамера, при використанні методу Гаусса доводиться виконувати вели­кий обсяг обчислювальної роботи. Через це цілком можливо, що буде припу­щено якоїсь помилки в обчисленнях. Тому бажано після розв'язання системи виконати перевірку, тобто підставити отримані значення невідомих у рівняння системи. Для виконання повної перевірки підстановку потрібно зробити в усі рівняння системи. Якщо ж з якихось причин це неможливо, то можна підстави­ти знайдені значення в одне рівняння. На відміну від правила Крамера в методі Гаусса цю підстановку потрібно робити в ОСТАННЄ рівняння ПЕРВИННОЇ системи. За наявності в цьому рівнянні всіх невідомих ця підстановка майже завжди покаже наявність помилки.

Приклад 4. Знайти фундаментальну систему розв'язків і загальний розв'язок однорідної системи лінійних рівнянь:

Х^ Х2 Х3 2Х4 Х5 — 0,

2 х₁ - Х2 Х3 Х4 + 2 Х₅ — 0, -5Х₁ + 7Х₂ + Х₃ +10Х₄ - 11х₅ — 0, -Х₁ + 5Х₂ - Х₃ + 8Х₄ - 7Х₅ — 0.

^ Складаємо розширену матрицю системи:

1 -12 -1 -1 -1 -1 2 -5 7 1 10 -11 15 -18 -7

0 0 0 0

А*

V

Помножимо перший рядок послідовно на (-2), 5 і 1 і додамо, відповідно, до другого, третього й четвертого рядків. Одержимо матрицю:

 

Другий рядок помножимо послідовно на числа 4 і 2 і додамо, відповідно, до третього й четвертого рядків. Одержимо матрицю:

Г 11 -12 -1 0^Л

0 -3 1 -5 4 0

0 0 0 0 0 0

А* —

0 0 0 0 0 0

Прямий крок методу Гаусса закінчений. В отриманої матриці легко ви-

Згідно з теоремою чи­

0 -3

1 1

значити rang A = rang A*=2 та її базисний мінор

сло розв'язків фундаментальної системи дорівнює різниці між числом невідо­мих п і рангом матриці.

У нашому випадку фундаментальна система складається із трьох розв'язків: п-га^ А = 5-2=3.

Переходимо до системи рівнянь:

 

0, 0.

IХ2

Х

3 Х2 Х3

Х3 2 Х4

■ 5 Х₄ + 4 Х₅

 

Невідомі х₁ і х₂ залишаємо у лівій частині, інші переносимо у праву частину:

!

Хі Х2 — Х3 2 X4 Х5,

ЗХ2 — Х3 5 Х4 4 Х5.

Одержимо фундаментальну систему розв'язків однорідної системи спо­собом, позначеним вище. Для цього змінній Х₃, перенесеній у праву частину, дамо значення 1, а іншим - нулі. Обчисливши значення змінних у лівій частині, одержимо один розв'язок фундаментальної системи. Дамо змінній Х₄ у правій частині значення 1, а іншим - нулі, одержимо другий розв'язок фундаменталь­ної системи і т.д.

Покладемо Х₃ — 1, Х₄ — 0, Х₅ — 0. Одержимо із другого рівняння остан­

 

Х3 - 5 Х4 + 4 Х5 1 - 0 + 0 1

ньої системи: Х

З першого рівняння останньої

 

^Ґ2Л

 

Перший розв'язок фундаментальної системи: Х₁

• Покладемо Х₄ — 1, Х₃ — 0, Х₅ — 0. Одержимо із другого рівняння останньої системи: _— Х₃ - 5 Х₄ + 4 Х_{5 —} 0 - 5 + 0 _— 5

² 3 3 3

З першого рівняння останньої системи:

Х₁ — —х₂ + Х₃ - 2 Х₄ +Х₅ —⁵ + 0 - 2 + 0 — -^[9].

1 0

^{1 2 3 4 5} 3 3

Другий розв'язок фундаментальної системи розв'язків: Х₂ —

• Покладемо Х₅ — 1, Х₃ — 0, Х₄ — 0.

Х

Одержимо із другого рівняння останньої системи:

Х₃ - 5 Х₄ + 4 Х₅ _ 0 - 0 + 4 _ 4

3 3 3

1/Л /3 - 5/ -3 0 1 0

З першого рівняння останньої системи:

 

4 1

Х

Х2 Х3

■2 Х₄ +Х₅ — — + 0 -0 + 1 — —. ^{4 5} 3 3

 

-1 -3 3 0

Третій розв'язок фундаментальної системи розв'язків: Х₃ —

Фундаментальна система розв'язків знайдена. Загальний розв'язок має

 

вигляд:

 

х — с • Хц + с2 • Х2 + С3 • Х3 Відповідь: Фундаментальна система розв'язків:

 

/3

_- 5/ /3

V

0 1 0

У V ^х У

Х„

Загальний розв'язок:

—с

+с2

+ с3

Хл

0 0

0 0

Х V Х5 У

ґ 1 /\ ґ 1 /л

_-1

_-1

_-5

Х —

Х2 —

, Х3 —

1 0 Ч0У г хл

0 0

0 1 0

 

Розв'язки помножені на будь-які ненульові числа знову утворюють фун­даментальну систему. Тому для попереднього приклада фундаментальну сис­тему утворять і такі розв'язки:

^ 21		Г-і 1		Г-і
		-5
	, X2 -		, Х3 -
V0,		V 0,		V 3

 

Загальний розв'язок можна записати так:

Г Х ^		Г 21		Г-і 1		Г-і
				-5
Х3	- С і		+ С2		+С3
Х4
V Х5		V 0,		V 0,		V 3