Кут між векторами. Проекція вектора на вісь

Нехвй у просторі дані два вектори а і Ь. Відкладемо від довільної точки О вектори ОА = а і ОВ = Ь.

а

~ в

Рис. 3.10. Кут між векторами а і Ь

 

Кутом між векторами а і Ь називається найменший з кутів АЛОБ. Кут між векторами позначається (а; Ь) = 0 <ф<ж.

Розглянемо вісь І і відкладемо на ній одиничний вектор е (тобто вектор, довжина якого дорівнює одиниці).

а

 

0 ^е І Рис. 3.11. Кут між вектором а і віссю І

Під кутом між вектором а і віссю І розуміють кут р між векторами а і е. Отже, нехай І - деяка вісь і а = АВ- вектор. Позначимо через А₁ і В₁ проекції на вісь І відповідно точок А і В. Припустимо, що А₁ має координату х₁, а В₁ -

координату х₂ на осі І. Тоді проекцією вектора АВ на вісь І називається різниця х₂ - х₁ між координатами проекцій кінця і початку вектора АВ на цю вісь.

Рис. 3.12. Проекція вектора АВ на вісь І

 

Проекцію вектора а на вісь І будемо позначати пріа = пріАВ.

Ясно, що коли кут між вектором а і віссю І гострий, то х₂> х₁, і проекція х₂ -.х₁> 0; якщо цей кут тупий, то х₂< х₁ і проекція х₂ - х₁< 0. Нарешті, якщо век­тор а перпендикулярний осі І, то х₂= х₁ і х₂- х₁= 0.

Таким чином, проекція вектора АВ на вісь І - це довжина відрізка А₁В₁, узята з відповідним знаком. Отже, проекція вектора на вісь це число або скаляр.

Аналогічно визначається проекція одного вектора на іншій. У цьому ви­падку знаходяться проекції кінців даного вектора на ту вісь, на якій лежить дру­гий вектор.

Розглянемо деякі осно вні властивості проекцій.

1. Проекція вектора а на вісь І дорівнює добуткові модуля вектора а на

 

(а; І) =

(р)

■ СОБ

■ СОБ

а

а

косинус кута між вектором і віссю: пр₁ а =

0 _ 1 Рис. 3.13. Проекція вектора а на вісь І, через кут між вектором і віссю

 

2. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі проекцій векторів на ту ж вісь: пр₁ (а + Ь) = пр_{а + пр_гЬ.

Наслідок. Проекція різниці двох векторів на вісь дорівнює різниці прое­кцій цих векторів на ту ж вісь.

 

4 в, с, -

Рис. 3.14. Проекція суми двох векторів Цю властивість можна узагальнити на випадок будь-якого числа додан­

ків.

3. Якщо ненульовий вектор а збільшується у X разів, то його проекція на вісь також збільшується на це число: прі (Ла) = Л ■ пріа.