Базис, розкладання вектора за базисом. Ортогональні системи векторів. Перехід від одного базису до іншого

Базисом називається сукупність відмінних від нуля лінійно незалежних векторів. Елементи базису будемо позначати е₁,е₂,...,е_к.

У попередньому параграфі ми довели, що два неколінеарних вектори на площині лінійно незалежні, відповідно до теореми 1 (будь-які два вектори лі­нійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони колінеарні). Отже, базисом на пло­щині є будь-які два неколінеарних вектори на цій площині.

Аналогічно у просторі лінійно незалежні будь-які три некомпланарних вектори. Отже, базисом у просторі назвемо три некомпланарних вектори.

Справедливе наступне твердження.

Теорема 3. Нехай у просторі заданий базис е₁, е₂, е₃. Тоді будь-який век­тор а можна представити у вигляді лінійної комбінації а = хе₁ + уе₂ + ze₃, де х, у, z - деякі числа. Таке розкладання єдине.

Рис. 3.16. Розкладання вектора а за векторами е₁,е₂,е₃ у просторі

Як частину випадку із цієї ж теореми можна сформувати наслідок: Якщо задано базис е₁, е₂ на площині, то будь-який вектор, компланарний

з векторами е₁, е₂ можна перетворити у вигляд а = хе₁ + уе₂, причому таке роз­кладання єдине.

Рис. 3.17. Розкладання вектора а за векторами е1,е2 на площині

Таким чином, базис дозволяє знайти однозначне співвідношення кожно­го вектора до трійки чисел - коефіцієнтів розкладання цього вектора за векто­рами базису: а ^ (х, у, z). Вірно й зворотне, з кожної трійки чисел х, у, z за до­помогою базису можна утворити вектор, якщо скласти лінійну комбінацію

хе₁ + уе₂ + ze₃ = а.

Якщо е₁, е₂, е₃ базис і а = хе₁ + уе₂ + ze₃, то числа х, у, z називаються ко­ординатами вектора а у даному базисі. Координати вектора а позначають а = (х, у, z).