Скалярний добуток векторів і його властивості

Вище ми розглянули множення вектора на число. Але у багатьох задачах зустрічається операція множення вектора на вектор. Але при цьому результат може бути як числом, так і вектором. Тому розглядають два види множення ве­кторів: скалярне й векторне.

Нехай дані два вектори а і Ь, кут між якими дорівнює (— (аЬ

Скалярним добутком векторів а і Ь називається число, рівне добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток познача­

 

• СОБ(.

а

ється а • Ь. Отже, а • Ь

 

Рис. 3.24. Скалярний добуток векторів

 

Якщо один із векторів нульовий, то скалярний добуток вважається рів­ним нулю.

Розглянемо властивості скалярного добутку.

1. Скалярний добуток двох векторів підкоряється комутативному зако­нові, тобто для будь-яких векторів а і Ь а • Ь = Ь • а.

2. Для будь-якого числа X і будь-яких векторів а і Ь маємо:

Л(а • Ь) = (а)• Ь = а •(Ь).

3. Для будь-яких векторів а,Ь, с виконується рівність:

(а + Ь)• с = а • с + Ь • с.

 

а

4. Для будь-якого вектора а виконується співвідношення а — а • а

ш • а — а.

—л/а — уЛ

Із цієї властивості зокрема випливає

 

5. Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли дорівнює нулю один зі співмножників або вектори перпендикулярні. Це властивість очевидна з визначення скалярного добутку. Таким чином, необхідною й достатньою умовою ортогональності двох ненульових векторів є рівність нулю їхнього скалярного добутку.