Мішаний добуток векторів і його властивості

Мішаним добутком трьох векторів а, Ь, с називають число, отримане векторним множенням перших двох векторів, з наступним скалярним множен­ням отриманого вектора а х Ь на третій вектор с. Позначається мішаний добу­ток (аЬс) _ (ахЬ) • с. Зрозуміло, такий добуток є число. Розглянемо властивості мішаного добутку.

1. Геометричний зміст мішаного добутку. Мішаний добуток трьох век­торів із точністю до знака дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на

(аЬс)

цих векторах, як на ребрах, тобто (аЬс) _ ±У_п

парал •

16. a _ 2p - Зq, Ь 17. a _ 5p + q, Ь _ 18. a _ 7p - 2q, Ь 19. a _ 6p - q, Ь _ 20. a _ 10p + q, Ь 21. a _ 6p - q, Ь _ 22. a _ Зp + 4q, Ь 23. a _ 7p + q, Ь _ 24. a _ p + Зq, Ь _ 25. a _ Зp + q, Ь _ 26. a _ 5p - q, Ь _ 27. a _ Зp - 4q, Ь 28. a _ 6p - q, Ь _ 29. a _ 2p + Зq, Ь 30. a _ 2p - Зq, Ь 31. a _ Зp + 2q, Ь

Таким чином, об'єм паралелепіпеда ї^тарап = і об'єм піраміди (тетраедра) К_пИр_ам =¹ (аЬс)

Рис. 3.29. Геометричний зміст мішаного добутку

 

Якщо трійка векторів а, Ь, с права, то мішаний добуток (аЬс)> 0, а якщо а, Ь, с - ліва, то (аЬс) < 0.

2. Для будь-яких векторів а, Ь, с справедлива рівність:

(аЬс) = (ах Ь) • с = а • (Ь х с)

3. При перестановці будь-яких двох співмножників мішаний добуток змінює знак.

Дійсно, якщо розглянемо мішаний добуток (аЬс), то, наприклад, (Ьас) = (Ьха) • с = -(ахЬ) • с = -(аЬс).

4. Мішаний добуток (аЬс) = 0 тоді і тільки тоді, коли один зі співмнож­ників дорівнює нулю або вектори а, Ь, с - компланарні.

5. Якщо вектори задані у координатній формі а = х₁ і + у₁ у + z₁ к й Ь = х₂ і + у₂ у + z₂ к і с = х₃ і + у₃ у + z₃ к, то можна довести, що їхній мішаний до­буток знаходиться за формулою:

 

^х1 У1 х

У2

(аЬс)

х

У3

 

Таким чином, мішаний добуток (аЬс) дорівнює визначникові третього

порядку, рядки якого складаються з координат першого, другого і третього век­торів.

Умова компланарності трьох ненульових векторів

Із властивостей мішаного добутку, необхідною й достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку. Крім того, авідси випливає, що три вектори а, Ь, с утворюють базис у просто­рі, якщо (аЬс) Ф 0.