Векторний добуток векторів і його властивості

Введемо спочатку поняття орієнтації трійки векторів.

 

Рис. 3.26. Види трійок векторів (права й ліва)

Нехай дано три некомпланарних вектори а, Ь, с із загальним початком, перелічених у визначеному порядку: перший - а, другий - Ь, третій - с.

Трійка некомпланарних векторів а, Ь, с називається право орієнтова­ною або просто правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видний проти годинникової стрілки. У противному ви­падку трійку векторів називають лівою, у цьому випадку якщо ми будемо диви­тися з кінця вектора с, то найкоротший поворот від а до Ь здійснюється за ру­хом годинникової стрілки.

Векторним добутком векторів а і Ь називається новий вектор с, що за­довольняє умовам:

1. Довжина вектора с дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а і Ь.

2. Вектор с перпендикулярний площини цього паралелограма.

3. Вектор с спрямований так, що вектори а й Ь утворять праву трійку векторів.

 

а

Рис. З.27. Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів а і Ь позначається символом а х Ь. Якщо хоча б один зі співмножників дорівнює нулю, то векторний добуток за визна­ченням вважають таким, що дорівнює нулю.

Векторний добуток має наступні властивості:

1. З визначення випливає, що величина векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах, і, отже, знаходиться

 

• sin (ab

a x b

• sin (.

a

a

за формулою:

 

пар.

Таким чином, площа паралелограма побудованого з векторів a і b: a • b • sin p. А площа трикутника побудованого з векторів a і b:

 

s = 1

• sin (.

a

^тр-ка. ₂

 

2. Скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку, тобто для будь-якого числа X і будь-яких векторів а і Ь:

А (а х Ь) = (а)х Ь = а х(АЬ).

3. Для будь-яких векторів а, Ь, с має місце рівність: а х(Ь + с) = а х Ь + а х с.

4. При перестановці співмножників векторний добуток змінює свій знак: а х Ь = -Ь х а.

дхї

 

 

іхд

Рис. 3.28. Зміна знаку при перестановці співмножників

5. Векторний добуток двох векторів дорівнює нульовому векторові тоді й тільки тоді, коли один зі співмножників дорівнює нулю або вектори колінеар­ні.