Лінійні онераціЇ над векторами у координатній формі

При множенні вектора на число всі його координати множаться на це число, тобто якщо a = xi + yj + zk, то Яa = Яxi + Яу j + Яzk = (>^x, Яу, Яz).

При додаванні векторів їхні відповідні координати складаються, тобто якщо a = x₁ i + y₁ j + z₁ k і b = x₂i + y₂ j + z₂k, то:

a + b = (x + x2)i + (У1 + y 2 + (z + z2) k. Умова колінеарності двох векторів у координатній формі. Два вектори колінеарні тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні координа­ти пропорційні. Тобто, якщо a = x₁ i + y₁ j + z₁ k і b = x₂ i + y₂ j + z₂ k, то

a^ b ^ ^^=^=^^.

^x2 ^y2 ^z2

Приклади

Приклад 1. Дано вектори a = (2;3;5) і b = (3;-2;5). Знайти вектор

с = 2a - b.

Л Знаходимо 2 a = 2 -(2;3;5) = (4;6;10).

С = 2~a - b = (4;6;10)-(3; -2;5) = (1;8;5). ►

Приклад 2. Написати розкладання вектора x за векторами p, q і r:

x = {4,3, - 12}, P = {2,1,-1}, q = {1,1,-1}, r = {1,1,-4}.

Л Позначимо координати вектора x у новому базисі x = (x₁; x₂; x₃). Тоді

у новому базисі будемо мати: x = x₁ • p + x₂ • q + x₃ • r

Підставимо значення координат векторів із даних прикладу:

(4;3;-12) = х • (2;1;-1) + Х2 • (1;1;-1) + Х3 • (1;1;-4). Застосовуючи правило множення вектора на число маємо: (4;3;-12) = (2 х₁;1х₁;-1х₁) + (1х₂;1х₂;-1х₂) + (1х₃;1х₃; -4 х₃). Застосовуючи правило додавання векторів маємо: (4;3; 12) — (2 х1 ++ х2 х3; х1 х2 х3; х1 х2 4 х3). Це векторне рівняння відносно х₁; х₂; х₃ еквівалентно системі трьох лі­нійних рівнянь із трьома невідомими:

2 х 1 х 2 х 3 — 4, х1 х 2 х 3 — 3, х 1 х 2 4 х 3 — 12.

Розв'язуємо цю систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо змінних х₁; х₂; х₃ і, таким чином, визначаємо коефіцієнти розкладання вектора х за век­торами р, q і г:

Розв'язуємо СЛАР, наприклад, методом Крамера:

2 1

4 3 12 2 1

1 1 -4 4 3

А —

— -3; А1 —

— -3

1 2 1

А 2 —

А3 —

— 3;

— -9

1 1 1 1 -1 -4 4 1 3 1

 

-1 -1 -12

3.

х

А -3

— ^{1; х}п

х

А -3 А -3

-1 -12 -4

А^ -9

А — ^ — 1;

Отже, х — р - q + 3г. ►