Приклади. Приклад 1. Розкрити дужки (2а + 3Ь )х(а - 2Ь).

Приклад 1. Розкрити дужки (2а + 3Ь)х(а - 2Ь).

^ (2а+зЬ)х(а - 2Ь)=2ах а - 2ах 2Ь+зь х а - зь х 2Ь

У1		—	Х1		+ к	Х1	У 1
- У
У2	^2	Х2	^2		Х2	У 2

Оскільки а х а = 0 і а хЬ =-Ь ха, то:

(2а + ЗЬ)х(а - 2Ь) = -4а х Ь - 3а х Ь = -7а х Ь, або 7Ь х а.►

Приклад 2. Знайти площу трикутника, побудованого на векторах 2а + Ь і

Ь, якщо відомо, що

1, 2a + Ь

2 і a; Ь = —. 6

а

1

• БІП (р.

тр-ка.

 

Знайдемо (2а + Ь)х Ь = (2а)х Ь + Ь х Ь = (2а)х Ь Оскільки (а)х Ь = Л(а х Ь), то

 

Приклад 3. Знайти векторний добуток векторів а = 2і + 3у - k і Ь = 3н - Н - 4 к.   г І к               — —     — 3 -1 — 2 -1 — 2 3 — — — ^ a х Ь = 2 3 -1 = г   - і'   + к   = -13 г + 5І - 11 к.►           -1 -4 3 -4   3 -1   3 -1 -4

Приклад 4. Знайти площу трикутника АВС, якщо А(2; 3; 1), В(-1; -2; 0), С(-3; 0; 1).

тр-ка.

АВ х АС

1

АВ _(-	1 - 2	; -2 - 3;	-1)	= (-3;-	-5; -
^5; -3;0)	.
- -5 -1 і -3 0	- ]	-3 -1 -5 0	+к	-3 5 -5 3	_ 3і

АВ х АС

і і к -3 -5 -1 -5 -3 0

З і - 5і + 16 к.

 

Оскільки довжина вектора через його координати обчислюється як

7[10]2 + У + ^, то 5тр-ка. = -2л/32 + 52 + 162 = 1 л/290. ►

АВ х АС

1 2

 

Приклад 5. Дани вектори а = (п,р,-1), Ь = (4р,-д,2), с = (8,13,-3).

Знайти параметри п, р, д якщо відомо, що вектори а і Ь колінеарні, а вектори Ь й с ортогональні.

^ Оскільки вектори а і Ь колінеарні, то їхні відповідні координати п р,

-1

-. Із цього співвідношення можна одержати

пропорційні, значить:

с л

два рівняння:

-д 2

п -1

(2 п _ -4 р).

4 р

Вектори Ь й с ортогональні, тому їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто:

Ь • С _ 4р • 8 - д • 13 - 2 • 3 _ 0 або 32р - 13 д - 6 _ 0.

_-1 4 р -д 2 л р _ д)1

Таким чином, маємо систему рівнянь, розв'язуючи яку знаходимо пара­метри п, р, д.

п _-2 р 32р _ 16 д 16 д - 13 д _ 6

п _ -2, р _ 1, ► д _ 2.

п _-2 р 2 р _ д 32р - 13 д - 6 _ 0

 

Приклад 6. Знайти площу паралелограма побудованого на векторах а _ /и₁ р + п д і Ь _ р + п₂ д, де

 

_ 12; О

д

ІЛ_Х _ 6; /и₂ _ 1; п _-1; п _ 2; р _ 8;

 

^ Площа паралелограма, побудованого на векторах а і Ь, чисельно до­рівнює модулеві їхнього векторного добутку 5_пар_ал _ а х Ь

Обчислюємо векторний добуток а і Ь

а х Ь _ ( |₁ рд) х ( |₂ р + п₂ д) _і₁і₂ р х р +І₁п₂ р х д +І₂п₁ д х р + п₁п₂ д х д

З огляду на алгебраїчні властивості векторного добутку маємо: р х д = -д х р (антиперестановочна властивість співмножників) і

р х р = д х д = 0.

Тому: a х Ь = /и_хц₂р х д - /и₂п₁ р х д = (ЩЛ₂ - Р х д. Знаходимо площу паралелограма, використовуючи визначення вектор­ного добутку:

⁵_парал = ^- І • Ір| •|д| • ^біи ((д).

Підставляючи данні задачі маємо:

5_парал = |6 • 2 - 1 -(-1))- 8 • ¹2 • б1п^п3 = 13 • 4 = 26^. ►