Поняття квадратичної матриці й квадратичної форми
При розв'язанні різних задач застосування часто доводиться досліджувати квадратичні форми. Визначення. Квадратичною формою Ь(х1, х2,..., хп) від п змінних називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї зі змінних, або добутком двох різних змінних, узятих з деяким коефіцієнтом:
Ь (хр Х2,..., хп
Припускаємо, що коефіцієнти квадратичної форми - дійсні числа, причому а у = а]і. Нагадаємо, що така матриця називається симетричною. Матриця А = (агу) (і,у = 1,2,..., п), складена із цих коефіцієнтів, називається матрицею квадратичної форми. її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, а інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми. У матричному записі квадратична форма має вигляд: Ь = ХТАХ,
т
- матриця-стовпець змінних, а X = (х1, х2,..., хп) - матриця-
V Хп У рядок змінних. Дійсно, якщо помножити матрицю-рядок Хт розмірністю 1 х п на матрицю квадратичної форми А розмірністю п х п одержимо матрицю-рядок розмірністю 1 х п, що при множенні на матрицю-стовпець X розмірністю п х 1 дає квадратичну форму розмірністю 1 х 1:
Ь = (х1 х2.•• хп) 1хп
V ап1 ап 2. а
пхп п п ЕЕау1х/ ЕЕа]2хі. ЕЕ
V і=1 у =1 і=1 у=1 і=1 у=1
V хп У
п п
ЕЕауіхіхі + ЕЕау2хіх2 +. + ЕЕаупхіхп=ЕЕ і=1 ]=1 і=1 ]=1 і=1 ] =1 і=1 ]=1
|
