Приклад. Дано квадратичну форму Ь (х1, х2 ) = 2х^ + 4х1х2 - Зх^Дано квадратичну форму Ь (х1, х2) = 2х^ + 4х1х2 - Зх^. Знайти квадратичну форму Ь (у1, у2) отриману з даної лінійним перетворенням
хі = 2У - 3У2; х2 = У1 + У2.
співвідношенням X — СУ, де С —
Матриця даної квадратичної форми А дратичної форми Ь (у1, у2) = УТА*У. Знайдемо матрицю квадратичної форми:
А* = СТАС =
Оскільки діагональні елементи нової квадратичної форми дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, а інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми, маємо: Ь (уі,у2 ) = 13 у2 -34 уУ2 + 3 у2. ► Канонічний вигляд квадратичної форми Слід зазначити, що при деяких вдало обраних лінійних перетвореннях вигляд можна істотно спростити. п п Квадратична форма Ь = ^^аІІхіхІ називається канонічною (або має ка- і=1 І=1 нонічний вигляд), якщо всі її коефіцієнти ау = 0 при і Ф і, тобто матриця квадратичної форми є діагональною: п 2 2 2 ^^ і 2 Ь — аі іХі + а^х^ +... + а^х2 — / а-х,- 11 1 22 2 пп п і=і Справедлива наступна теорема. Теорема. Будь-яка квадратична форма за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних може бути зведена до канонічного вигляду.
|
