Індивідуальне завдання № 3.9

Студент повинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі групи.

Звести квадратичну форму Ь (,х₂,х₃) до канонічного вигляду методом

Лагранжа й оцінити визначеність:

а) первинного вигляду - за критерієм Сильвестра;

б) канонічного вигляду - за знаками діагональних елементів отриманої матриці квадратичної форми.

1.	Хі + 4 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 4 Х2 Х3 + 4 Х3		2.	4 Хі + 4 Хі Х2 + 8 Хі Х3 3 Х^) + 4 Х3
3.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + Х3		4.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 3х>2 2 Х3
5.	4Хі 2ХіХ2 5Х2 ЗХ3		6.	Хі + 4 Хі Х2 + 4 Х2 Х3 + Х3
7.	Хі 2ХіХ2 2ХіХ3 ЗХ2 6Х2Х3 -	2 Х3	8.	Хі 4 Хі Х2 2 Хі Х3 3х^2 2 Х2 Х3 Х3
9.	Хі + 4 Хі Х3 Х2 2 Х2 Х3 + 4 Х3		10.	Хі 2 Хі Х2 2 Хі Х3 Х3
11.	Хі + 4 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 8 Х2 + і 6 Х2 Х3	+ 7 Х32	12.	4 Хі + 4 Хі Х2 + 8 Хі Х3 + 5 Х2 + 8 Х2 Х3 + 4 Х3
13.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 8 х<2 + 8 Х2 Х3	+ Х32	14.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 5х^2 + 8 Х2 Х3 + 4 Х3
15.	Хі 4ХіХ2 4ХіХ3 5х2 і 2Х2Х3	+ 7 Х32	16.	Хі + 4 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 8 Х2 + і 6 Х2 Х3 + 7 Х3
17.	Хі 2 Хі Х2 2 Хі Х3 5Х2 і 0 Х2 Х3	+ 4 Х32	18.	Хі 4 Хі Х2 2 Хі Х3 5 Х2 6 Х2 Х3 Х3
19.	Хі 4 Хі Х2 Х2 2 Х2 Х3 4 Х3		20.	Хі 2 Хі Х2 2 Хі Х3 2 Х2 4 Х2 Х3 Х3
21.	Хі 4 Хі Х2 4 Хі Х3 4 Х2 Х3 2 Х3		22.	4 Хі + 4 Хі Х2 + 4 Хі Х3 3х^2 + 2 Х32
23.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + Х3		24.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 3х2 4 Х3
25.	Хі + 4ХіХ2 + 4ХіХ3 + 3Х2 + 4Х2 Х3_	~ Х3	26.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 3х2 2 Х3
27.	Хі 2ХіХ2 2ХіХ3 3Х2 6Х2Х3 -	_ 2 Х3	28.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 5х2 + 8 Х2 Х3 + 4 Х3
29.	Хі + 4 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + 4 Х2 Х3 + 4 Х3		30.	4 Хі + 8 Хі Х2 + 4 Хі Х3 + Х3
31.	Хі 4 Хі Х2 Х2 2 Х2 Х3 4 Х3

 

Контрольні запитання

1. Які вектори називають колінеарними і які компланарними?

2. Які властивості лінійних операцій над векторами?

3. Які існують властивості проекцій вектора на вісь?

4. Що таке базис на площині й у просторі?

5. Що таке характеристичне рівняння, власні числа й власні вектори матриці лінійного оператора?

6. Що називається канонічним видом квадратичної форми?

7. Які існують методи зведення квадратичної форми до канонічного вигляду?

8. У чому полягає закон інерції квадратичних форм?

9. Які властивості скалярного добутку? Написати формулу, що ви­ражає скалярний добуток через декартові координати.

10. Які властивості векторного добутку? Написати умову колінеарно- сті векторів мовою векторного добутку. Написати формулу, що виражає векторний добуток через декартові координати співмно­жників.

11. Дати визначення мішаного добутку. Написати умову компланар- ності векторів. Написати формулу, що виражає мішаний добуток через декартові координати.

У розділі розглянуті основи векторного аналізу, способи зна­ходження власних чисел і власних векторів матриці лінійного опе­ратора, а також наведені методи оцінки визначеності квадратичних форм

висновки

Даний навчальний посібник призначений для студентів економічних спе­ціальностей. Перший розділ присвячений елементарній математиці. Увага при­ділена тим розділам, що будуть використовутися під час вивчення основних розділів «Математики для економістів». У розділі «Лінійна алгебра» основна увага приділяється прийомам і навичкам розв'язування задач, пов'язаних із сис­темами лінійних алгебраїчних рівнянь. У курсах, що викладаються для еконо­мічних спеціальностей часто зустрічаються системи, що не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків. Даний посібник допоможе з успіхом упоратися зі всіма цими випадками.

Знання, отримані при розв'язуванні задач «Векторної алгебри» будуть корисні й при вивченні «Аналітичної геометрії». А теорія квадратичних форм буде корисною в економічних розрахунках. З її допомогою розраховуються різ­номанітні фінансові операції, нараховуються відсотки й т.п.

Під час вивчення матеріалу, викладеного в посібнику, студентам пропо­нується розв'язати 20 різних індивідуальних завдань, що дозволять закріпити вивчений матеріал.

Методика використання комп'ютерної програми Maxima, що використо­вується у всіх розділах, полегшує розв'язування задач за викладеними матеріа­лами. Цю програму «комп'ютерної математики» можна використовувати як «калькулятор із вищою математичною освітою», що дозволяє проводити чисе­льні розрахунки з великою, або навіть необмеженою (нічим, окрім пам'яті ком­п'ютера), точністю й базуючись на цілій енциклопедії закладених у нього знань із математики. Maxima орієнтована як на чисельні розрахунки, так і на симво­льне представлення даних і символьні (точні) розв'язки. Це дає можливість ви­брати більш відповідний інструмент саме під свої конкретні завдання. Але ос­новна потужність Maxima прихована саме в переплетенні цих двох особливос­тей: ви можете, наприклад, точно вивести в символьному вигляді коефіцієнти диференціального рівняння, а потім, у разі неможливості або відсутності необ­хідності його точного розв'язку, підрахувати деякий конкретний розв'язок чи­сельно в будь-яких заданих точках; або наблизити відрізком ряду Тейлора будь- якого порядку; або побудувати інтегральну лінію за тими ж чисельними зна­ченнями, підрахованими з будь-якою потрібною точністю, на плоскості або в тривимірному просторі.

За допомогою Maxima можна заощадити масу часу й уникнути багатьох помилок при обчисленнях.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ТА ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А.М.Прохоров. Изд. 3-е. - М.: Советская Энциклопедия, - 1975. - Т. 20.

2. Высшая математика для экономистов. Учебник для экономических спе­циальностей вузов / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 471 с.

3. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому ана­лизу. М.: «Наука», 1977.

4. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.- 648с.

5. Ильин В.А., Поздняк З.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984.

6. Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов.- М.: Инф- ра-М, 1997.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Типовые расчё­ты /. - М.: Высшая школа. - 1994. - 202 с.

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: «Наука», 1984.

9. Щипачев В.С. Высшая математика: Учеб. Для нематемат.спец. вузов/. Под ред. Акад. А.Н.Тихонова. - М.: Высш.шк.. 1990. - 479 с.

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

 

Алгебраїчні рівняння й нерівнос­ті...... 26

Базис, розкладання вектора за ба­зисом 117

Векторний добуток векторів і його

властивості............................................. 130

Векторні лінійні простори.................. 116

Види матриць........................................... 48

Визначеність квадратичних форм... 154

Визначення матриці................................ 47

Висота тетраедра (піраміди).............. 138

Властивості визначників........................ 61

Декартова система координат............ 118

Довжина вектора................................... 127

Загальний розв'язок системи................ 90

Зведення квадратичної форми до

канонічного вигляду............................ 150

Зворотна матриця.................................... 67

Знаходження координат вектора....... 122

Існування розв'язку СЛАР загаль­ного виду 84

Канонічний вигляд квадратичної

форми....................................................... 150

Колінеарні і компланарні векто­ри.... 110

Кут між векторами................................ 114

Лінійна залежність і незалежність

векторів................................................... 116

Лінійна модель обміну (модель

міжнародної торгівлі).......................... 145

Лінійні операції над векторами......... 111

Лінійні операції над векторами в

координатній формі.............................. 121

Логарифмічні рівняння й нерівно­сті.. 36

Методи знаходження власних чи­сел і власних векторів матриці 142

Методи обчислення визначни­ків......... 59

Мінори й алгебраїчні доповнен­ня....... 62

Мішаний добуток векторів і його

властивоті............................................. 135

Напрямні косинуси вектора................ 120

Однорідна система рівнянь................... 90

Операції над матрицями......................... 48

Ортогональні системи векторів.......... 117

Основні властивості операцій над

матрицями............................................. 48

Перехід від одного базису до ін­шого 117

Планіметрія............................................... 21

Поняття вектора................................... 110

Поняття визначника................................. 59

Поняття власних чисел і власних

векторів матриці.................................... 142

Поняття і знаходження рангу мат­риці 81

Поняття квадратичної матриці і

квадратичної форми........................... 148

Правило Крамера для розв'язуван­ня СЛАР 73

Проекція вектора на вісь...................... 114

Розв'язування СЛАР методом Га­усса 92

Розв' язування СЛАР за допомо­гою зворотної матриці 76

Розкладання визначників за елеме­нтами рядків і стовпців 62

Системи лінійних алгебраїчних

рівнянь (СЛАР)......................................... 72

Скалярний добуток векторів і його

властивості............................................ 126

Складання рівнянь................................... 42

Структура розв'язків неоднорідної

системи лінійних рівнянь................ 92

Теореми Кронекера-Капеллі................. 84

Тригонометрія............................................ 9

Умова ортогональності двох век­торів 127

Фундаментальна система....................... 90

ДОДАТОК А

				(градусна міра)
БІК	1=0.0175	БІК	26=	0.4384	БІК 52=0.7880	БІК	78=	0.9781
БІК	2=0.0349	БІК	27=	0.4540	БІК 53=0.7986	БІК	79=	0.9816
БІК	3=0.0523	БІК	28=	0.4695	БІК 54=0.8090	БІК	80=	0.9848
БІК	4=0.0698	БІК	29=	0.4848	БІК 55=0.8192	БІК	81=	0.9877
БІК	5=0.0872	БІК	30=	0.5000	БІК 56=0.8290	БІК	82=	0.9903
БІК	6=0.1045	БІК	31=	0.5150	БІК 57=0.8387	БІК	83=	0.9925
БІК	7=0.1219	БІК	32=	0.5299	БІК 58=0.8480	БІК	84=	0.9945
БІК	8=0.1392	БІК	33=	0.5446	БІК 59=0.8572	БІК	85=	0.9962
БІК	9=0.1564	БІК	34=	0.5592	БІК 60=0.8660	БІК	86=	0.9976
БІК	10=0.1736	БІК	35=	0.5736	БІК 61=0.8746	БІК	87=	0.9986
БІК	11=0.1908	БІК	36=	0.5878	БІК 62=0.8829	БІК	88=	0.9994
БІК	12=0.2079	БІК	37=	0.6018	БІК 63=0.8910	БІК	89=	0.9998
БІК	13=0.2250	БІК	38=	0.6157	БІК 64=0.8988	БІК	90=	1.0000
БІК	14=0.2419	БІК	39=	0.6293	БІК 65=0.9063
БІК	15=0.2588	БІК	40=	0.6428	БІК 66=0.9135
БІК	16=0.2756	БІК	41=	0.6561	БІК 67=0.9205
БІК	17=0.2924	БІК	42=	0.6691	БІК 68=0.9272
БІК	18=0.3090	БІК	43=	0.6820	БІК 69=0.9336
БІК	19=0.3256	БІК	44=	0.6947	БІК 70=0.9397
БІК	20=0.3420	БІК	45=	0.7071	БІК 71=0.9455
БІК	21=0.3584	БІК	46=	0.7193	БІК 72=0.9511
БІК	22=0.3746	БІК	47=	0.7314	БІК 73=0.9563
БІК	23=0.3907	БІК	48=	0.7431	БІК 74=0.9613
БІК	24=0.4067	БІК	49=	0.7547	БІК 75=0.9659
БІК	25=0.4226	БІК	50=	0.7660	БІК 76=0.9703
		БІК	51=	0.7771	БІК 77=0.9744
сов	0= 1.0000	сов	24=	0.9135	сов 48= 0.6691	сов	72=	0.3090
сов	1= 0.9998	сов	25=	0.9063	сов 49= 0.6561	сов	73=	0.2924
сов	2= 0.9994	сов	26=	0.8988	сов 50= 0.6428	сов	74=	0.2756
сов	3= 0.9986	сов	27=	0.8910	сов 51= 0.6293	сов	75=	0.2588
сов	4= 0.9976	сов	28=	0.8829	сов 52= 0.6157	сов	76=	0.2419
сов	5= 0.9962	сов	29=	0.8746	сов 53= 0.6018	сов	77=	0.2250
сов	6= 0.9945	сов	30=	0.8660	сов 54= 0.5878	сов	78=	0.2079
сов	7= 0.9925	сов	31=	0.8572	сов 55= 0.5736	сов	79=	0.1908
сов	8= 0.9903	сов	32=	0.8480	сов 56= 0.5592	сов	80=	0.1736
сов	9= 0.9877	сов	33=	0.8387	сов 57= 0.5446	сов	81=	0.1564
сов	10= 0.9848	сов	34=	0.8290	сов 58= 0.5299	сов	82=	0.1392
сов	11= 0.9816	сов	35=	0.8192	сов 59= 0.5150	сов	83=	0.1219
сов	12= 0.9781	сов	36=	0.8090	сов 60= 0.5000	сов	84=	0.1045
сов	13= 0.9744	сов	37=	0.7986	сов 61= 0.4848	сов	85=	0.0872
сов	14= 0.9703	сов	38=	0.7880	сов 62= 0.4695	сов	86=	0.0698
сов	15= 0.9659	сов	39=	0.7771	сов 63= 0.4540	сов	87=	0.0523
сов	16= 0.9613	сов	40=	0.7660	сов 64= 0.4384	сов	88=	0.0349
сов	17= 0.9563	сов	41=	0.7547	сов 65= 0.4226	сов	89=	0.0175
сов	18= 0.9511	сов	42=	0.7431	сов 66= 0.4067
сов	19= 0.9455	сов	43=	0.7314	сов 67= 0.3907
сов	20= 0.9397	сов	44=	0.7193	сов 68= 0.3746
сов	21= 0.9336	сов	45=	0.7071	сов 69= 0.3584
сов	22= 0.9272	сов	46=	0.6947	сов 70= 0.3420
сов	23= 0.9205	сов	47=	0.6820	сов 71= 0.3256

tg 1=0.0175 tg 2=0.0349 tg 3=0.0524 tg 4=0.0699 tg 5=0.0875 tg 6=0.1051 tg 7=0.1228 tg 8=0.1405 tg 9=0.1584 tg 10=0.1763 tg 11=0.1944 tg 12=0.2126 tg 13=0.2309 tg 14=0.2493 tg 15=0.2679 tg 16=0.2867 tg 17=0.3057 tg 18=0.3249 tg 19=0.3443 tg 20=0.3640 tg 21=0.3839 tg 22=0.4040 tg 23=0.4245

ctg 1=57.2900 ctg 2=28.6363 ctg 3=19.0811 ctg 4=14.3007 ctg 5=11.4301 ctg 6=9.5144 ctg 7=8.1443 ctg 8=7.1154 ctg 9=6.3138 ctg 10=5.6713 ctg 11=5.1446 ctg 12=4.7046 ctg 13=4.3315 ctg 14=4.0108 ctg 15=3.7321 ctg 16=3.4874 ctg 17=3.2709 ctg 18=3.0777 ctg 19=2.9042 ctg 20=2.7475 ctg 21=2.6051 ctg 22=2.4751 ctg 23=2.3559 tg 24=0.4452 tg 25=0.4663 tg 26=0.4877 tg 27=0.5095 tg 28=0.5317 tg 29=0.5543 tg 30=0.5774 tg 31=0.6009 tg 32=0.6249 tg 33=0.6494 tg 34=0.6745 tg 35=0.7002 tg 36=0.7265 tg 37=0.7536 tg 38=0.7813 tg 39=0.8098 tg 40=0.8391 tg 41=0.8693 tg 42=0.9004 tg 43=0.9325 tg 44=0.9657 tg 45=1.0000 tg 46=1.0355

ctg 24=2.2460 ctg 25=2.1445 ctg 26=2.0503 ctg 27=1.9626 ctg 28=1.8807 ctg 29=1.8040 ctg 30=1.7321 ctg 31=1.6643 ctg 32=1.6003 ctg 33=1.5399 ctg 34=1.4826 ctg 35=1.4281 ctg 36=1.3764 ctg 37=1.3270 ctg 38=1.2799 ctg 39=1.2349 ctg 40=1.1918 ctg 41=1.1504 ctg 42=1.1106 ctg 43=1.0724 ctg 44=1.0355 ctg 45=1.0000 ctg 46=0.9657

tg 47=1.0724 tg 48=1.1106 tg 49=1.1504 tg 50=1.1918 tg 51 = 1.2349 tg 52=1.2799 tg 53=1.3270 tg 54=1.3764 tg 55=1.4281 tg 56=1.4826 tg 57=1.5399 tg 58=1.6003 tg 59=1.6643 tg 60=1.7321 tg 61=1.8040 tg 62=1.8807 tg 63=1.9626 tg 64=2.0503 tg 65=2.1445 tg 66=2.2460 tg 67=2.3559 tg 68=2.4751 tg 69=2.6051

ctg 47=0.9325 ctg 48=0.9004 ctg 49=0.8693 ctg 50=0.8391 ctg 51=0.8098 ctg 52=0.7813 ctg 53=0.7536 ctg 54=0.7265 ctg 55=0.7002 ctg 56=0.6745 ctg 57=0.6494 ctg 58=0.6249 ctg 59=0.6009 ctg 60=0.5774 ctg 61=0.5543 ctg 62=0.5317 ctg 63=0.5095 ctg 64=0.4877 ctg 65=0.4663 ctg 66=0.4452 ctg 67=0.4245 ctg 68=0.4040 ctg 69=0.3839

tg 70=2.7475 tg 71=2.9042 tg 72=3.0777 tg 73=3.2709 tg 74=3.4874 tg 75=3.7321 tg 76=4.0108 tg 77=4.3315 tg 78=4.7046 tg 79=5.1446 tg 80=5.6713 tg 81=6.3138 tg 82=7.1154 tg 83=8.1443 tg 84=9.5144 tg 85=11.4301 tg 86=14.3007 tg 87=19.0811 tg 88=28.6363 tg 89=57.2900

ctg 70=0.3640 ctg 71=0.3443 ctg 72=0.3249 ctg 73=0.3057 ctg 74=0.2867 ctg 75=0.2679 ctg 76=0.2493 ctg 77=0.2309 ctg 78=0.2126 ctg 79=0.1944 ctg 80=0.1763 ctg 81=0.1584 ctg 82=0.1405 ctg 83=0.1228 ctg 84=0.1051 ctg 85=0.0875 ctg 86=0.0699 ctg 87=0.0524 ctg 88=0.0349 ctg 89=0.0175 ctg 90=0.0000

ДОДАТОК Б