Приклад. Квадратичну форму звести до канонічного вигляду ортогональним пере- (

Квадратичну форму звести до канонічного вигляду ортогональним пере-

(

\ 2 2 х₁,х₂) = 2х₁ - 6х₁ х₂ +10х₂.

Л Знайдемо матрицю первинної квадратичної форми. її діагональні еле­менти дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, тобто 2, 10, а інші еле­менти - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми, тобто ' 2 -3^Л

А

 

ч-^{3 10}У

Складаємо характеристичне рівняння для матриці А:

і „ і 2-Я -З А-ЯЕ = = 0

^{1 1} -3 10 -Я

Розкриваємо визначник (2-Я)(10-Я)-(-3)(-3) = 0,

20-2Я-10Я + Я² -9 = 0. Розв'язуємо квадратне рівняння й знаходимо власні числа:

Я² - 12 Я + 11 = 0 ]^[Я = 1; Я = 11]

Знаходимо власні вектори:

Г х₁ - 3х₂ = 0 Г х₁ - 3х₂ = 0 Я = 1: і ^ і

х1 — С1

' 1 Л 1

у — С1

— — С1 3 3

х2 — —

1-3х₁ + 9х₂ = 0 І -х₁ + 3х₂ = 0

 

Для визначення сталої С₁ запишемо вираз для довжини вектора у₁ через його координати і прирівняємо його до одиниці, як це потрібно у постановці задачі ортогонального перетворення:

9 х1 3 х2

-3х1 - х2 — 0

3х1 + х2 — 0 -3х1 - х2 — 0

ґі\

■Г 1 ^Л

С+ () — С1 — С1 —А-. у1 — А-

1

V1У

Ґ1Л

хЛ -- Се*)

у2 — С2

х0 — 3х —

V 2 /О І о І ¹

>/10

10

Я — 11:

 

Аналогічно знаходимо С₂ і у₂:

Г11 V-3 У

лЯо [ 1 1 -3

у2

10

V У

|у 2 І — С 2 V 1² +(-3)² —Л0с₂ — 1 ^ С₂ ^ ^/Ю.

 

л/10

Одержуємо невироджене лінійне перетворення: у₁ —-------- (3х₁ + х₂),

УГо 10

л

(хсі 3 Х2).

 

При зазначеному невиродженому лінійному перетворенні первинна квадратична форма набуде канонічного вигляду:

^Ь1 (іУ)= ^уі² + ¹¹ • У 2 '

У1о 10

лЛо 10

Перевірка: уГ2 +11 • у. = 1

(3х1 + х2)

(Х1 3 Х2)

+11

 

6 - 66

— (9 Х1 6 Х1Х2 х>2) ++ (Х1 6 Х1Х2 9 Х2) — Х1 Хі Хо Х2 —

10

10^{у 1 12 2/} 10

100

Пл2

10

3.29. Індивідуальне завдання № 3.8 Студент повинен розв'язати одну з наведених нижче задач, вибравши її за своїм номером у журналі групи. Звести квадратичну форму Ь (х1,х2) до канонічного вигляду методом Лагранжа й ортогональним перетворенням. 1. 3x1 2 Х1Х2 2 х^г 2. 2 Хl 2 ХlХ2 2 x.. 3. 2 Х1 2 Х1Х2 2 Х2 4. 3x1 4 ХlХ2 3x22 5. 4 Х1 2 Х1Х2 5 Х2 6. 6 Хl 4 Хl Х2 x.J 7. 4 Х1 2 Х1Х2 4 Х2 8. 3x1 2 Хl Х2 4 x.. 9. 3x1 2 Х1Х2 3x2 10. 8 Хl 4 Хl Х2 4 x.. 11. 3x1 2 Х1Х2 2 Х2 12. 4 Хl 6 ХlХ2 8 x.. 13. 6 Х1 4 Х1Х2 8 х>2 14. 4 Хl 4 ХlХ2 6 Х2 15. 2 Х1 5 Х1Х2 4 Х2 16. 4 Хl 4 ХlХ2 2 x.. 17. 3x1 6 Х1Х2 4 Х2 18. 3x1 4 ХlХ2 3x22 19. 5 Хl 8 Хl Х2 5 Х2 20. 4 Хl 6 ХlХ2 6 x.. 21. 3x1 4 Хl Х2 5 x.J 22. 2 Хl 8 Хl Х2 10 x.J 23. 4 Хl 2 Хl Х2 3x22 24. 6 Хl 6 Хl Х2 4 x.. 25. 4 Хl 6 ХlХ2 5 x.. 26. 4 Хl 4 ХlХ2 6 Х2 27. 4 Хl 2 Хl Х2 4 Х2 28. 8 Хl 4 Хl Х2 4 x.J 29. 6 Хl 4 ХlХ2 8 x.J 30. 3x1 4 ХlХ2 3x22 31. 6 Хl 4 ХlХ2 Х2

2 x_]² - 6 х₁х₂ +10 xC, ►