Приклад. Л Винесемо за дужки загальний множник і виділимо повний квад­рат різниці змінних (х1 ,х2): + 5 x22 - X

Квадратичну форму звести до канонічного вигляду методом Лагранжа Ь (х' х2) — 2 х1 6 х1 х2 +10 х₂^[12].

Л Винесемо за дужки загальний множник і виділимо повний квад­рат різниці змінних (х₁,х₂):

+ 5 x22 -

X, 2 X,

x Ч 2 2 J

x Ч 2 2 J

x Ч 2 2 J

ґі \²"

ґ і \ с з л²

L (x,,x₂) — 2X,² - бx,x₂ + 1Ox² — 2

з 2 J

11 2 +--- X2. 2 2

— 2

— 2 •

+

X, X2

x

X, X2

²

+

5 - 9

4 /

Одержуємо невироджене лінійне перетворення У, — X, -— x₂; y₂ — x₂.

При зазначеному невиродженому лінійному перетворенні первинна квадратична форма прийме такий канонічний вигляд:

^Ll (у, >У2) ^{— 2} • У,² + у • У2².

2

11 +--- x0

Перевірка: 2 • у,2 +— • у2 — 2

Xl Xry 1 2 2

 

Ортогональне перетворення - це лінійне перетворення векторного простору, що зберігає незмінними одиничну довжину базисних векторів. Орто­гональне перетворення здійснюється за допомогою власних значень і власних векторів первинної квадратичної форми Ь (х₁,х₂..,х_п):

o y у^

У 2

n J Ч yn J

^ҐЯ₁ 0.. 0 Я,... 0

^{L —} (у, У 2 ••• Уп)

o о • А

де А₁,А₁,А_п - власні числа первинної квадратичної форми, У₁, У₂,...,У_п - власні вектори первинної квадратичної форми.

У матричному вигляді Ь = У^т АУ,

де А - матриця первинної квадратичної форми у базисі, утвореному її власними векторами, У - матриця-стовпець змінних, що складаються з власних векторів первинної квадратичної форми.

Таким чином, первинна квадратична форма набуде канонічного виду: Ь (у,У₂• •,У_п) — Я у² + Я у² +,.. Д_пу². При цьому довжина базисних векторів по­винна дорівнювати одиниці: — |у₂1 —,...,— |у_п | — 1.