Квадратичну форму звести до канонічного вигляду методом Лагранжа Ь (х' х2) — 2 х1 6 х1 х2 +10 х2[12].
Л Винесемо за дужки загальний множник і виділимо повний квадрат різниці змінних (х1,х2):
ґі \2"
ґ і \ с з л2
L (x,,x2) — 2X,2 - бx,x2 + 1Ox2 — 2
2
+
5 - 9
4 /
Одержуємо невироджене лінійне перетворення У, — X, -— x2; y2 — x2.
При зазначеному невиродженому лінійному перетворенні первинна квадратична форма прийме такий канонічний вигляд:
Ll (у, >У2) — 2 • У,2 + у • У22.
| Перевірка: 2 • у,2 +— • у2 — 2
|
Ортогональне перетворення - це лінійне перетворення векторного простору, що зберігає незмінними одиничну довжину базисних векторів. Ортогональне перетворення здійснюється за допомогою власних значень і власних векторів первинної квадратичної форми Ь (х1,х2..,хп):
ҐЯ1 0.. 0 Я,... 0
L — (у, У 2 ••• Уп)
o о • А
де А1,А1,Ап - власні числа первинної квадратичної форми, У1, У2,...,Уп - власні вектори первинної квадратичної форми.
У матричному вигляді Ь = Ут АУ,
де А - матриця первинної квадратичної форми у базисі, утвореному її власними векторами, У - матриця-стовпець змінних, що складаються з власних векторів первинної квадратичної форми.
Таким чином, первинна квадратична форма набуде канонічного виду: Ь (у,У2• •,Уп) — Я у2 + Я у2 +,.. Дпу2. При цьому довжина базисних векторів повинна дорівнювати одиниці: — |у21 —,...,— |уп | — 1.
