Довжина вектора. Кут між векторами. Умова ортогональності двох векторів

Розглянемо, як знаходиться скалярний добуток векторів, якщо вони за­дані у координатній формі. Нехай дані два вектори а = х₁ і + у₁ у + z₁ к і

Ь = х₂ ^і + у у + г₂ ^к.

Розглянемо спочатку всі можливі скалярні добутки векторів і,у, к. Ос­кільки ці вектори взаємно перпендикулярні, то їхні добутки один на одного до­рівнюють нулю, за винятком множення вектора на самого себе. Результати зво­димо у таблицю 3.1:

Таблиця 3.1

Скалярні добутки векторів і,у,к

 

Повернемося тепер до скалярного добутку- двох векторів: а • Ь = (і + У1 у + х_х к) • (і + У 2 У + ^ к) =

= Х1Х2 і² + ад і У + х г2 ік + У1Х2 ]і + У^.У2 у² + У1 ук + г_х Х2 кі + ^ У2 ку + ^ Z2 к² =

= ^Х1 • ^Х2 + У1 • У 2 + • ^г2. Отже, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків відповідних

координат: а • Ь = х₁ • х₂ + У₁ • У₂ + z₁ •.

Отже,

Це співвідношення дозволяє обчислити довжину вектора через його ко-

ординати:

а

• соб р знаходимо

а

Далі з визначення скалярного добутку а • Ь

=7а~

2 2 2 -² + У² + z ^у 1 1

a	b
a	b

 

Виражаючи скалярний добуток і довжини векторів через їхні координа­ти, одержимо формулу для знаходження косинуса кута між векторами:

a ■ b

7

*1 + Уі У 2 + *1 *2

cos ^ ■;

_Л/х² + y² + z² чIx² + y² + z²

V 1 ^ 1 1 v 2 2 2

Умова ортогональності двох векторів у координатній формі: a L b ^ a • b = 0 або ab_x + a_yb_y + ab_z = 0.

X X V V z z

Таким чином, для того щоб два вектори були перпендикулярні необхід­но й достатньо, щоб сума добутків відповідних координат цих векторів дорів­нювала нулю.