Довжина вектора. Кут між векторами. Умова ортогональності двох векторів
Розглянемо, як знаходиться скалярний добуток векторів, якщо вони задані у координатній формі. Нехай дані два вектори а = х1 і + у1 у + z1 к і Ь = х2 і + у у + г2 к. Розглянемо спочатку всі можливі скалярні добутки векторів і,у, к. Оскільки ці вектори взаємно перпендикулярні, то їхні добутки один на одного дорівнюють нулю, за винятком множення вектора на самого себе. Результати зводимо у таблицю 3.1: Таблиця 3.1
Повернемося тепер до скалярного добутку- двох векторів: а • Ь = (і + У1 у + хх к) • (і + У 2 У + ^ к) = = Х1Х2 і2 + ад і У + х г2 ік + У1Х2 ]і + У^.У2 у2 + У1 ук + гх Х2 кі + ^ У2 ку + ^ Z2 к2 = = Х1 • Х2 + У1 • У 2 + • г2. Отже, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат: а • Ь = х1 • х2 + У1 • У2 + z1 •.
Це співвідношення дозволяє обчислити довжину вектора через його ко-
=7а~ 2 2 2 -2 + У2 + z у 1 1
Виражаючи скалярний добуток і довжини векторів через їхні координати, одержимо формулу для знаходження косинуса кута між векторами:
*1 + Уі У 2 + *1 *2 cos ^ ■; Л/х2 + y2 + z2 чIx2 + y2 + z2 V 1 ^ 1 1 v 2 2 2 Умова ортогональності двох векторів у координатній формі: a L b ^ a • b = 0 або abx + ayby + abz = 0. X X V V z z Таким чином, для того щоб два вектори були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб сума добутків відповідних координат цих векторів дорівнювала нулю.
|
